Curiosa prueba Integral

Question

¿Puede alguien identificar para mí el valor de esta expresión y probarlo? $$\lim_{n\rightarrow\infty}{\int^{\infty}_{-\infty}{e^{-x^n}} dx}$$

donde $n$ es un entero positivo aún.

Answer 1

Suponiendo que $n=2k$ es uniforme, por Convergencia dominada, tenemos $$\begin{align} \lim_{k\to\infty}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^{2k}}\,\mathrm{d}x &=\lim_{k\to\infty}\overbrace{\int_{-\infty}^{-1}e^{-x^{2k}}\,\mathrm{d}x}^{\text{dominated by %#%#%}} \hspace{-8mm}&&+\lim_{k\to\infty}\overbrace{\int_{-1}^1e^{-x^{2k}}\,\mathrm{d}x}^{\text{dominated by %#%#%}} \hspace{-8mm}&&+\lim_{k\to\infty}\overbrace{\int_{1}^\infty e^{-x^{2k}}\,\mathrm{d}x}^{\text{dominated by %#%#%}}\\ &=\hphantom{\lim_{k\to\infty}}\int_{-\infty}^{-1}0\,\mathrm{d}x &&+\hphantom{\lim_{k\to\infty}}\int_{-1}^11\,\mathrm{d}x &&+\hphantom{\lim_{k\to\infty}}\int_{1}^\infty 0\,\mathrm{d}x\\[6pt] &=\hphantom{\lim_{k\to\infty}}0 &&+\hphantom{\lim_{k\to\infty}}2 &&+\hphantom{\lim_{k\to\infty}}0 \end {Alinee el} $$

Answer 2

Supongo que $n$ es incluso, más el integral de no converge.

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2k}}dx=2\int_0^{\infty}e^{-x^{2k}}dx=\frac{1}{k}\int_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{2k}-1}e^{-t}dt=\frac{1}{k}\Gamma\left(\frac{1}{2k}\right)=2\Gamma\left(\frac{2k+1}{2k}\right)$$

Así en el límite que tenemos

$$\lim_{k\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2k}}dx=2\Gamma(1)=2$$

Answer 3

Me gusta la respuesta de robjohn, como no requiere usar la función gamma. Si te estás preguntando cómo podría subir con la idea de dividir la integral en los puntos – 1 y 1, parcela % funciones $f(x) = \exp(-x^n)$para aumentar los valores de $n$ (par):

Ves que tiende a cero por ciento $x<-1$y $x>1$ y $1$ en el intervalo $[-1,1]$.

Answer 4

Sugerencia: Hacer el cambio de variable $x^{2m}=t$ y luego use la función gamma. Entonces para encontrar el límite use aproximación de Stirling.

Answer 5

Simplemente podríamos aplicar la famosa identidad gaussiana: $$\boxed{\displaystyle\quad\int_0^\infty e^{-x^n} = \frac1n ! \qquad\iff\qquad I = 2\,\left(\frac1\infty\right) ! = 2\cdot 0\,! = 2\cdot1 = 2\quad}$$ since for an even n, the graphic is symmetrical with regards to the vertical axis Oy, $(-t) ^ {2 k} = t ^ {2 k} $ , and our integral thus becomes : $% $ $I = \int_{-\infty}^\infty\ e^{-x^n} = \int_{-\infty}^\infty\ e^{-x^{2k}} = 2\int_0^\infty\ e^{-x^{2k}}$

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De lo contrario, nos podríamos directamente calcular el límite de $\infty$ como sigue: $$I = 2\int_0^\infty\ e^{-x^{2\infty}} = 2\,\left(\,\int_0^1\ e^{-x^\infty} + \int_1^\infty\ e^{-x^\infty}\right) = 2\,\left(\,\int_0^1\ e^{-0} + \int_1^\infty\ e^{-\infty}\right)$$ $$\quad\qquad = 2\,\left(\,\int_0^1 1\ dx + \int_1^\infty 0\ dx\right)\quad = 2\,(1\cdot1 + 0) = 2$$ since $x^\infty = 0 $ , for $ |x| < 1$ , and $x^\infty = \infty$ , for $|x| > 1$.