Evaluar $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\log_2^2{n}}$

Question

Me gustaría evaluar $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\log_{2}^{2}\left(n\right)}. $$ Sé que $\int_2^{\infty} \frac{1}{n\log_2^2{n}} = \log{2}$ así que mi suposición es que la respuesta está cerca de eso. Sin embargo numéricamente parece estar muy cerca de $1$. ¿Es en realidad $1$?

Usando maple limit(sum(1/(n*log[2](n)^2),n=2..i), i=infinity); da

$$\frac{48 \ln^2{2} - 48 O(1) \ln{2} + 13\ln{2} + 2}{48 \ln{2}}$$

sin embargo no tengo idea de cómo interpretar esto.

Answer 1

Es fácil demostrar que

$${1\over N(\ln N)^2}+{1\over(N+1)(\ln (N+1))^2}+{1\over(N+2)(\ln(N+2))^2}+\cdots\gt{1\over\ln N}+{1\over2N(\ln N)^2}$$

Así se obtiene

$$\sum_{n=2}^\infty{1\over n\log_2^2n}=(\ln2)^2\sum_{n=2}^\infty{1\over n(\ln n)^2}\gt (\ln2)^2\left({1\over2(\ln2)^2}+{1\over\ln3}+{1\over6(\ln3)^2} \right)\approx1.00367$$

La desigualdad "directa" proviene de comparar la serie, pensada como una función escalonada, con la integral bajo la curva $f(x)=1/x(\ln x)^2$: La diferencia entre los dos lados es el área entre la curva y las cuerdas que conectan puntos con valores enteros de $x$. (El área total por encima de esas cuerdas es $1/2N(\ln N)^2$.)

Answer 2

Es posible reescribir esta suma como una integral que involucra la función zeta de Riemann. Nota que $$ \zeta(z)-1=\sum_{n=2}^{\infty}n^{-z}=\sum_{n=2}^{\infty}\exp(-z\log n) $$ cuando $\text{Re}(z)>1$. Tomando una primitiva simple (y tratando la convergencia de manera informal), $$ \int_{z}^{\infty}(\zeta(s)-1)ds=\sum_{n=2}^{\infty}\int_{z}^{\infty}\exp(-s\log n)ds=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\exp(-z\log n)}{\log n}. $$ Tomando otra, $$ \int_{z}^{\infty}dy \int_{y}^{\infty}(\zeta(s)-1)ds=\sum_{n=2}^{\infty}\int_{z}^{\infty}\frac{\exp(-y\log n)}{\log n}dy=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\exp(-z\log n)}{\log^2 n}, $$ o $$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^{-z}}{\log^2 n}=\int_{z}^{\infty}dy\int_{y}^{\infty}(\zeta(s)-1)ds=\int_{z}^{\infty}(\zeta(s)-1)(s-z)ds. $$ Aquí queremos evaluar esto en $z=1$, y multiplicar por el factor correcto para obtener el logaritmo en base-$2$: $$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log_2^2 n}=\log^2 2\int_{1}^{\infty}(\zeta(s)-1)(s-1)ds. $$