Número de soluciones reales de $3x^5+2x^4+x^3+2x^2-x-2=0$

Question

Encontrar a un número de raíces reales de %#% $ #%

He intentado utilizar la diferenciación:

$$f(x)=3x^5+2x^4+x^3+2x^2-x-2$$$f'(x)=15x^4+8x^3+3x^2+4x-1=0$ f'(x)=0$ and I found number of real roots of $g(x)=-15x^4$ by drawing graphs of $h(x)=8x^3+3x^2+4x-1$ and $h(x)$ es una función creciente.

¿Pero ahora la forma de proceder?

Answer 1

$f'(x)=15x^4+8x^3+3x^2+4x-1>0$ $x>\frac{1}{2}$ y $f\left(\frac{1}{2}\right)<0$.

Por lo tanto, desde $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$, vemos que existe una única raíz $x>\frac{1}{2}$.

Ahora, probar que $f(x)<0$ % todos $x\leq\frac{1}{2}$.

Por ejemplo, $0\leq x\leq\frac{1}{2}$ tenemos $$3x^5+2x^4+x^3+2x^2-x-2=$ $ $$=\left(3x^5-\frac{3}{4}x^3\right)+\left(2x^4-x^3\right)+(2x^2-x)+\left(\frac{11}{4}x^3-2\right)<0.$ $

Podemos reemplazar $x<0$ $x$ $-x$ y es suficiente para probar que $$-3x^5+2x^4-x^3+2x^2+x-2<0$$ for all $x # > 0$ o $$3x^5-2x^4+x^3-2x^2-x+2>0$ $ o $$3x^5-3x^4-3x^3+3x^2+x^4+4x^3-5x^2-x+2>0$ $ o $$3x^2(x+1)(x-1)^2+x^4-2x^2+1+4x^3-3x^2-x+1>0$ $ o $$3x^2(x+1)(x-1)^2+(x^2-1)^2+4x^3-3x^2-x+1>0$ $ o $$3x^2(x+1)(x-1)^2+(x^2-1)^2+(x-0.5)^2+4x^3-4x^2+0.75>0$ $ y queda por demostrar que $$4x^3-4x^2+0.75>0,$ $ que es AM-GM: $$4x^3-4x^2+0.75=2x^3+2x^3+0.75-4x^2\geq3\sqrt[3]{(2x^3)^2\cdot0.75}-4x^2=\left(3\sqrt[3]3-4\right)x^2>0,$ $ que da que nuestra ecuación tiene una raíz real.

¡Hecho!

Answer 2

En primer lugar, permite calcular algunos de $f$'s de derivados:

\begin{align} f'(x) &= 15x^4+8x^3+3x^2+4x-1,\\ f''(x) &= 2(30x^3+12x^2+3x+2),\\ f'''(x) &= 6(30x^2+8x+1) > 0,\ \forall x\in\mathbb R. \end{align}

Por lo tanto, $f'$ es convexa, y $f''$ estrictamente creciente. Desde $\lim_{x\pm\infty} f''(x) = \pm\infty$, $f''$ tiene exactamente una raíz $c$, y este es el mínimo global de $f'$. Dependiendo de $f'(c)$, $f'$ ha $0$, $1$ o $2$ raíces. Ya, $f(-1) > f(0)$, hay algún punto en el que $f'$ es negativo y llegamos a la conclusión de que $f'$ tiene exactamente $2$ raíces, $x_1$$x_2$, que corresponde a locales de máximo y mínimo local de $f$.

Vamos a tomar un breve descanso para resumir lo que hemos: sabemos lo $f$ es creciente en los intervalos de $(-\infty,x_1)$$(x_2,+\infty)$, mientras que la disminución en el $(x_1,x_2)$.

Tenga en cuenta que ahora tenemos suficientes datos para concluir que $f$ ha $1$ o $3$ raíces y depende de si los extremos locales tienen el mismo o de distinto signo. Vamos a probar ahora que $f(x_1), f(x_2) < 0$ y a la conclusión de que $f$ tiene exactamente una raíz, en algún lugar en el intervalo de $(x_2,+\infty)$.

Así, sabemos que $f'(x_i) = 0$ y por la división de polinomios tenemos $$f(x_i) = \frac 1{75}(f'(x_i)(15x+2)+2(7x_i^3+42x_i^2-34x_i-74)) = \frac 2{75}(7x_i^3+42x_i^2-34x_i-74)$$

así que vamos a definir $g(x) = 7x^3+42x^2-34x-74$.

Hay dos cosas que queremos demostrar:

1. $\ g(x)<0$ $|x|< 1,$

2. $f'(x)>0$ $|x|\geq 1.$

Esto nos dará ese $g(x_i)<0$ y, en consecuencia, que el $f(x_i) < 0$, lo que quiere finalizar la prueba.

Para probar que 1., calcular el $g''(x) = 42(x+2)$, lo que significa que $g$ es convexa en a $[-1,1]$, por lo que el valor máximo en ese segmento se conseguirá $\pm 1$. Desde $g(-1) = -5$$g(1) = -59$, llegamos a la conclusión de que $g(x) < 0$$(-1,1)$.

Para probar 2., si $x\geq 1$, $f'(x) \geq 15+8+3+4-1 > 0$. Si $x\leq 1$, considere la posibilidad de $$h(x) = f'(-x) = 15x^4-8x^3+3x^2-4x-1 = x^3(15x-8)+(3x^2-4x-1).$$

Tanto en $x^3(15x-8)$ $3x^2-4x-1$ son estrictamente creciente en a $[1,+\infty)$, mientras que $h(1) = 5$. Esto significa que $h(x) > 0$$[1,+\infty)$, es decir,$f'(x)>0$$(-\infty,-1]$, lo que demuestra que 2.

Answer 3

$LHD=x^3(3x^2+2x+1)=x^3(3(x+\frac13)^2+\frac23)$

$RHD=-2x^2+x+2=-2(x-\frac14)^2+\frac{17}8$

Si $x>\frac54$, obviamente esta igualdad no tiene solución.

Si $\frac14<x<\frac54$, puesto que LHD monotoniously va en aumento, RHD es su opuesto, hay una solución.

Si $0<x<\frac14$, $LHD<1<RHD$ allí no es ninguna solución.

Si $-1<x<0$, $-2<LHD<0, 1<RHD<2$ allí no es ninguna solución.

Si $x<-1$ $x=-1$, $LHD=-2$, $RHD=-1$ y desde el $3x^2+2x+1-(-2x^2+x+2)=5x^2+x-1$$=5(x+\frac1{10})^2-\frac1{20}>0,$ y $LHD<RHD$

Por último hay una única solución en $\frac14<x<\frac54$.