Esta es una continuación de la pregunta
La factorización del polinomio con el primer coeficientes de hoy.
Como en los vinculados duda de que estamos interesados en la posibilidad de un polinomio de la forma $$ f(x)=p_0+p_1x+\cdots+p_{n-1}x^{n-1} $$ tener un factor común con $x^n-1$ en el ring $\Bbb{Z}[x]$. Aquí los coeficientes $p_i$ están restringidos a ser distinto de los números primos.
Gerry Myerson y me proporcionó ejemplos de tales polinomios $f(x)$ como respuestas a la pregunta vinculada. Todos los ejemplos utilizados bajo grado factores de $x^n-1$, y cuando se base en $f$ tener una raíz de la unidad de la orden de $d, d\mid n, d<n$, como un cero.
Esto deja abierta la más difícil la posibilidad de que si un polinomio $f(x)$ puede tener un cero de una primitiva $n$th raíz de la unidad. En otras palabras,
es posible encontrar un polinomio $f(x)$ de los prescritos de forma tal que $\gcd(f(x),\Phi_n(x))\neq1$?
Reflexiones preliminares:
- No estoy seguro de que esto es posible. Una prueba de la imposibilidad de esto es obviamente una gran respuesta, pero no se puede pedir mucho.
- Como $\Phi_n(x)$ es irreductible, necesitamos $\Phi_n(x)$ a ser un factor de $f(x)$.
- Para tener suficiente espacio para moverse a la búsqueda de $f(x)=g(x)\Phi_n(x)$ probablemente desee $\Phi_n(x)$ tener un grado mucho menor que $n$.
- Sin embargo, la selección de $n$ a ser una fuente primaria de energía es un non-starter. Si $n=p^m$, entonces tenemos que tener en $\deg g(x)<p^{m-1}$, y los coeficientes de $g(x)$ se acaba de repetir en el producto $g(x)\Phi_n(x)$.
- En caso de que esto hace una diferencia, me iba a relajar las restricciones y permitir que un negativo prime como un coeficiente de $f$ mientras $p_i\neq\pm p_j$ siempre $i\neq j$.
