Estoy en busca de un algoritmo numérico para encontrar todos los $n$ raíces de un grado $n$ polinomio $P(x)$ sin un conocimiento explícito de sus coeficientes. Puedo, sin embargo, evaluar $P(x)$ cualquier $x$.
Soy consciente de que me podía muestra $n+1$ $P$ encontrar coeficientes, a continuación, busque las raíces como de costumbre (por ejemplo, por diagonalizing el compañero de la matriz). Pero sin un poco de información de fondo sobre el polinomio de coeficientes o raíces, no es claro para mí lo que es la mejor manera de elegir los puntos de muestreo (si las raíces de pasar a ser espaciados mucho más lejos de lo que mis puntos de muestreo, el polinomio será muy cerca de una función lineal en la región muestreada y por lo que yo esperaría que la extraen los coeficientes de ser sensible a errores numéricos). Es por eso que prefiero no ir a través de los coeficientes. Pero si alguien tiene una buena idea de cómo elegir los puntos de muestreo adaptativo basado en las evaluaciones de $P(x)$ para obtener los coeficientes de $P$ en una manera robusta, soy todo oídos.
En caso de que alguien tiene curiosidad, la razón por la que estoy buscando en este es para resolver el siguiente problema: Dado $N\times N$ (positiva simétrica) de matrices de $A$$B$, necesito encontrar todos los $x$ tal que $Ax+B$ es singular. Por supuesto, esto conduce a la diagonalización de $A^{-1}B$ si $A$ es invertible. Lo interesante del caso es que si no lo es. Mi enfoque sería entonces la de encontrar los ceros de $\det(Ax+B)$ que es un polinomio de grado a la mayoría de las $N$$x$. No sé coeficientes explícitamente, pero puedo probar que el determinante para diferentes $x$ con bastante facilidad.
