Muestran que

Question

Quiero demostrar que la $\displaystyle\int_0^\pi\frac{2\cos(2\theta)+\cos(3\theta)}{5+4\cos(\theta)}d\theta=\frac{\pi}{8}$

Mis ideas, no sé si se llevan a ninguna parte:

Vamos a sustituir $\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ $z=e^{i\theta}$ justo después de:

$\displaystyle\int_0^\pi\frac{2\cos(2\theta)+\cos(3\theta)}{5+4\cos(\theta)}d\theta=-i\cdot\int_1^{-1}\frac{z^2+z^{-2}+\frac{1}{2}z^3+\frac{1}{2}z^{-3}}{5z+2z^2+2}dz$

Esto ahora me da 4 nuevos integrales, por ejemplo

$\displaystyle-i\int_1^{-1}\frac{z^2}{2z^2+5z+2}dz$, $\displaystyle-i\int_1^{-1}\frac{1}{2z^4+5z^3+2z^2}dz$ y así sucesivamente.

Pero dado que no he sido capaz de resolver ninguno de los nuevos integrales, estoy un poco perdido.

Edit: no puedo hacer un parcial de las fracciones de la descomposición de todos los 4 las integrales y resolverlos por separado?

Answer 1

Si desea aprovechar el teorema del residuo, primero explotar el hecho de que la integral es aún. Además, utilizar fórmula de Euler para escribir $2\cos(2\theta)+\cos(3\theta)=\text{Re}(2e^{i2\theta}+e^{i3\theta})$.

Entonces, tenemos

$$\begin{align} \int_0^\pi \frac{2\cos(2\theta)+\cos(3\theta)}{5+4\cos(\theta)}\,d\theta&=\frac12\text{Re}\left(\oint_{|z|=1}\frac{2z^2+z^3}{5+2(z+z^{-1})}\,\frac{1}{iz}\,dz\right)\\\\ &=\frac12\text{Re}\left(\frac1i\oint_{|z|=1}\frac{z^2(2+z)}{(2z+1)(z+2)}\,dz\right)\\\\ &=\frac12\text{Re}\left(\frac1i\oint_{|z|=1}\frac{z^2}{2z+1}\,dz\right)\\\\ &=\frac{\pi}{8} \end {Alinee el} $$

Y ya terminamos!

Answer 2

Consejo: mostrar que el integrando es igual a $$ {\frac {4\, \left (\cos \left (x \right) \right) ^ {2}-2 + 4\, \left (\cos \left (x \right) \right) ^ 3\ {3}, \cos \left (x \right)} {5 + 4\, \cos \left (x \right)}} $$ y luego use la sustitución de Weierstrass

Answer 3

Parece que debe haber una fracción parcial descomposición:

$\frac{z^2+z^{-2}+\frac{1}{2}z^3+\frac{1}{2}z^{-3}}{5z+2z^2+2} = Az + B + \frac C{z} + \frac D{z^2} + \frac E{z^3} + \frac {F}{z+2} + \frac {G}{2z + 1}$

Answer 4

Como el Dr. Sonnhard Graubner respondió, expanda $\cos(2x)$ $\cos(3x)$ el uso de las clásicas fórmulas y uso de la tangente de la mitad de ángulo de sustitución para obtener $$I=\int\frac{\cos(2x)+\cos(3x)}{5+4\cos(x}\,dx=\int\frac{2 \left(t^6+5 t^4-25 t^2+3\right)}{\left(t^2+1\right)^3 \left(t^2+9\right)}dt$$ Using partial fraction decomposition $$\frac{2 \left(t^6+5 t^4-25 t^2+3\right)}{\left(t^2+1\right)^3 \left(t^2+9\right)}=\frac{3}{8 \left(t^2+9\right)}+\frac{13}{8 \left(t^2+1\right)}-\frac{9}{\left(t^2+1\right)^2}+\frac{8}{\left(t^2+1\right)^3 }$$ Integration now to get $$I=\frac{1}{8} \left(\frac{4 t-12 t^3}{\left(t^2+1\right)^2}+\bronceado ^{-1}\left(\frac{t}{3}\right)+\bronceado ^{-1}(t)\right)$$ and the bounds are $0$ and $\infty$.