El hecho de que existe un número irracional $a,b$ tal que $a^b$el % es racional es probado por la ley del medio excluido, pero he leído en alguna parte que irracionalidad de $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ es probado constructivamente. ¿Sabe usted la prueba?
Respuestas
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Evan Anderson
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Dado que este es un bien establecido resultado, este es un wiki de la comunidad post.
Pregunta pertinente: Decidir si $2^{\sqrt2}$ es irracional/trascendental
Kuzmin resultó la siguiente afirmación en 1930:
Teorema: Si $\alpha\neq 0,1$ es algebraica, $\beta$ es positivo y racional, no es un cuadrado perfecto, entonces $\alpha^{\sqrt{\beta}}$ es trascendental.
Por desgracia, el papel está en ruso y no he logrado encontrar una traducción al inglés. Un corolario de esto es que el $2^{\sqrt{2}}$ es trascendental, y así es su raíz cuadrada $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$.
Los contornos de ambos Gelfond y Kuzmin constructiva de la prueba se puede encontrar aquí.
Como David Mitra señaló los comentarios, Niven del libro había una sección dedicada a esto. Me encanta Niven del libro tanto. La técnica es similar a la de adaptar la prueba que he publicado aquí, la prueba por contradicción.
Idea aproximada acerca de la construcción: en Primer lugar, asumiendo $\alpha^{\sqrt{\beta}}$ es algebraico. A continuación, el uso de suficiente alto grado de interpolación de Lagrange polinomio para aproximar $e^{(\ln \alpha)x}$ en puntos $\{a+ b\sqrt{2}\}$$a,b\in \mathbb{Z}$. Deje que el número de puntos de ir hasta el infinito, el error se va a ir a cero, esto muestra una trascendental función de $\alpha^x$ se puede interpolar el uso de countably muchos algebraicas puntos. Contradicción.
svk
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codefly
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El llamado Teorema de Gelfond – Schneider dice que si a y b son números algébricos que, neq b 0,1 y si b no es un número racional, entonces una ^ b es trascendental...
Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond– Schneider_theorem
