Volumen de dos objetos que se mueven lejos de uno a

Question

Supongamos que tenemos dos subconjuntos de $\mathbb{R}^n$, bien-comportado (no patológico, "ordinario") y compacto con finito $n$-volumen, como una burbuja o un cubo.

Supongamos que uno de los objetos se desplaza tal que la distancia promedio entre puntos de los dos objetos se ha incrementado al final de su viaje. ¿El volumen de la Unión de los dos objetos deben nondecreasing? (Comparando la inicial y final ubicación sólo).

Answer 1

Tomar

$$ \begin{align} A&=[-1,0]\cup [2,n], \\ B&=[-n,-2]\cup[0,1]=-A, \end{align} $$ donde $n$ es lo suficientemente grande. $A$ $B$ son disjuntas. Ahora deslice $A$ a la derecha : obtenemos $A'=1+A=[0,1]\cup[3,n+1]$ por lo que el volumen de la unión ha disminuido.

Por otro lado, el promedio de la distancia entre el $A$ $B$ ha aumentado.

Edit : Vamos a calcular explícitamente el promedio de la distancia. Al $I$ $J$ son dos disjoints intervalos, la distancia media entre el $I$ $J$ $\lvert c-d \rvert$ donde $c$ (resp. $d$) es el medio de $I$ (resp $J$). Deje $X$ ser una variable aleatoria uniformemente distribuida en $A$, e $Y$ estar distribuidos de manera uniforme en $B$. La distancia promedio entre el $A$ $B$ es

$$ \begin{align} \mathrm{d}_{A,B}=\mathbb{E}(\lvert X-Y \rvert) &= \left(\frac{n-2}{n-1}\right)^2\mathbb{E}(\lvert X-Y \rvert \ \mid X\geq 0, Y\leq 0) \\ &\qquad + \frac{n-2}{(n-1)^2}\mathbb{E}(\lvert X-Y \rvert \ \mid X\geq 0, Y\geq 0) \\ &\qquad + \frac{n-2}{(n-1)^2}\mathbb{E}(\lvert X-Y \rvert \ \mid X\leq 0, Y\leq 0) \\ &\qquad + \frac{1}{(n-1)^2}\mathbb{E}(\lvert X-Y \rvert \ \mid X\leq 0, Y\geq 0) \\ &= \left(\frac{n-2}{n-1}\right)^2(n+2) + \frac{n-2}{(n-1)^2}(n+1) + \frac{1}{(n-1)^2}. \end{align} $$

Por las mismas razones, la distancia media entre el $A'$ $B$ es

$$\mathrm{d}_{A',B}=\left(\frac{n-2}{n-1}\right)^2(n+3) + \frac{n-2}{(n-1)^2}(n+3) + \frac{1}{3(n-1)^2}$$

Ahora está claro que cuando se $n$ es lo suficientemente grande, $\mathrm{d}_{A',B} > \mathrm{d}_{A,B}$.