Existen $2n$ conjuntos, cada uno de los cuales contiene un número par de números enteros.
Cada número entero se colorea de rojo con probabilidad $1\over2$ independientemente de los demás.
Digamos que un conjunto es bien si al menos la mitad de sus elementos son rojos.
Digamos que una coloración es bien si al menos $n$ fuera del $2n$ los juegos son buenos
¿Cuál es la probabilidad $p$ que la coloración aleatoria es buena?
Es evidente que $p\geq {1\over2}$ ya que para cada coloración en la que $m$ conjuntos son no bueno, en la coloración opuesta al menos $m$ conjuntos son buenos. Por lo tanto, para cada coloración no buena, la coloración opuesta es buena.
¿Es siempre cierto que $p>{1\over2}$ ¿Estrictamente?
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¿Puede decirnos algo sobre los tamaños de estos juegos?
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¿Supongo que el orden de los colores no importa?
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Creo que la única vez $p=\frac{1}{2}$ es el caso degenerado en el que se deja que tanto el tamaño de los conjuntos como el número de conjuntos en la coloración lleguen a infinito. De lo contrario, siempre será $p>\frac{1}{2}$ . Aunque esto es sólo mi pensamiento intuitivo... Ya que no podía pensar en un ejemplo contrario.
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Digamos que una coloración es muy buena si tanto ella como su coloración opuesta son buenas. Entonces tu pregunta equivale a la existencia de una coloración muy buena. Quizá haya alguna forma inteligente de construir coloraciones muy buenas, pero un argumento de inducción ingenuo parece fallar.
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Para empezar $m_i$ los números enteros pares del $2n$ conjuntos, donde $i\in \{1,2,3,...n,...,2n\}$ La probabilidad de que un conjunto $i$ bueno es $p_i=0.5^{m_i} \sum\limits_{k=\frac{m_i}2}^{m_i} {m_i\choose k}$ Ahora usamos ese ${m_i\choose k}={m_i\choose {m_i-k}}$ . Por lo tanto $0.5^{m_i}\sum\limits_{k=\frac{m_i}2+1}^{m_i} {m\choose k}=0.5^{m_i}\sum\limits_{k=\frac{m_i}2-1}^{m_i} {m_i\choose k}=A$ Las probabilidades suman uno. $2A+0.5^{m_i} {\frac{m_i}2\choose k}=1$ En consecuencia $p_i=0.5+0.5^{m_i+1} {\frac{m_i}2\choose k}>0.5$
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¿Pueden intersecarse los conjuntos?
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@Fimpellizieri Si no se cruzan entonces es obvio porque entonces puedo simplemente elegir la mitad de cada conjunto para colorear de rojo y obtener un colorido muy bueno (ver mi comentario más arriba).
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Es decir $p_i=0.5+0.5^{m_i+1} {m_i\choose \frac{m_i}2}>0.5$
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@T.Gunn Por supuesto.
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@callculus Eso es interesante. Así que como todos los conjuntos son finitos, hay una constante $p>0.5$ tal que cada conjunto es bueno con una probabilidad de al menos $p$ . Pero, ¿se puede llegar de ahí a la probabilidad de que al menos la mitad de los conjuntos sean buenos?