Probar: Si $\sum_na_nb_n$ converge cuando $\sum b_n^2 \lt \infty,$ y $\sum a_n^2<\infty$

Question

Supongamos que $a_n$ es una secuencia de números reales tales que a $\sum_na_nb_n$ converge siempre que $\sum_n b_n^2 \lt \infty$. Mostrar que $\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 \lt \infty$.

Yo: he definido $T: l^2 \to \mathbb{R}$ mediante el envío de $(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots,) \to \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$. A continuación, $T$ es lineal. Quiero mostrar que la $T$ es limitado y, a continuación, que nos dará el resultado de $b^n=(a_1,a_2,\ldots,a_n,0,\ldots,0)$, $$T\left(\frac{b^n}{\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2}}\right)=\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots a_n^2}{\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2}}=\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2} \le \|T\|, \forall n \in \mathbb{N}$$ lo que implica que $$\sum_{j=1}^{\infty} a_j^2 =\lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^n a_j^2 \le \|T\|^2 \lt \infty$$

Lo único que queda demostrado es que ahora, $T$ está delimitado por la cual traté de evocar el Cerrado Gráfico Teorema. Supongamos que $b^n=(b^n(1),b^n(2),\ldots,b^n(j),\ldots) \in l^2 $ convergen a$0$$T(b^n) \to y$. Deje $\epsilon \gt 0$. Entonces existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n \ge n_0$,$\|b^n\|_2 \lt \frac{\epsilon}{2}$, lo que en particular implica que $|b^n(j)| \lt \frac{\epsilon}{2}$ todos los $j$ y todos los $n \ge n_0$. Desde $T(b^n) \to y$ existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \ge n_1$, $|T(b^n)-y| \lt \frac{\epsilon}{2}$.

A continuación, para todos $n \ge \max{(n_0,n_1)}$$$|y| \le |y-T(b^n)|+|T(b^n)| \lt \epsilon+\frac{\epsilon}{2}(|a_1|+|a_2|+\ldots+|a_k|)$$ (Nota: Desde $T(b^n) \lt \infty$, la cola de la serie va a$0$, lo que significa que $|\sum_{j \ge k} a_jb^n(j)| \lt \frac{\epsilon}{2}$ )

Esto no es lo que pretende mostrar. Puedo concluir de aquí que $y=0$ desde $\epsilon \gt 0$ es arbitrario? Para mí, el problema es que apriori, no tengo una manera de salirse con la $|a_j|$'s, ya que dependen de la elección de $b^n$.

Nota: no Hay una respuesta a esta pregunta aquí: Si $\sum a_n b_n <\infty$ todos los $(b_n)\in \ell^2$ $(a_n) \in \ell^2$ . Pero yo quería saber si puedo ir a través de esta ruta y llegar a la respuesta y si no, por qué.

Gracias por la ayuda!!

Answer 1

EDIT: Como se señaló en los comentarios, yo estaba usando un método ligeramente diferente. Más bien, yo estaba probando el mapa de $(b_n)\mapsto(a_nb_n)$ es un delimitada lineal mapa de $\ell^2\to\ell^1$. La conclusión de curso sigue siendo el mismo, pero el método no es del todo lo que el OP quería.

Es posible planteamiento de la pregunta de esta manera, aunque no es el mejor método. Queremos demostrar si $b^n\to0$$\ell^2$$T(b^n)\to y$$\ell^1$$y=0$, por lo que es suficiente para mostrar que el $y_k=0$ por cada $k$. Fix $\varepsilon>0$. Deje $n_0$ ser lo suficientemente grande que $\max\{\|b^n\|_2,\|T(b^n)-y\|_1\}<\varepsilon$ todos los $n\ge n_0$. Observar que $$|a_kb^n(k)-y_k|\le\|T(b^n)-y\|_1<\varepsilon,$$ así que si podemos mostrar que $(a_n)$ es un almacén de secuencia de lo que se deduce que $$|y_k|\le\varepsilon+|a_k|\|b^n\|_2<(1+M)\varepsilon$$ donde $M=\sup_n|a_n|$, y así le será hecho. Supongamos por contradicción que $(a_n)$ es no acotada. Luego hay una larga $(n_k)$ tal que $|a_{n_k}|\ge k$. Deje $b=(b_n)$ ser la secuencia definida por

$$b_n=\begin{cases} \frac1k&\text{if }n=n_k,\\ 0&\text{otherwise.} \end{casos}$$

Claramente $b\in\ell^2$, pero $|a_{n_k}b_{n_k}|\ge1$ todos los $k$, lo $a_nb_n\not\to0$ y, en particular, $\sum_na_nb_n$ no convergen. Esto completa la prueba.

Answer 2

Usted puede evitar el uso de los Uniformes Acotamiento Principio, pero la falta de continuidad de $T$ significa que usted necesita para obtener otro control de la toma de límites. En el presente caso, usted puede usar la monotonía de convergencia, que en última instancia depende de la estructura de entramado $\ell^2$. Esto también está implícito en las soluciones en posts anteriores se hace a mano (sin Baire), aunque tal vez no de manera explícita.

Podemos asumir que todos los $a_n\geq 0$ (esto fue hecho en un post anterior, y posiblemente con la intención de proporcionar una sugerencia, yo se lo dejo a usted para reducir el problema para este caso).

Deje $K=\ell^2_+({\Bbb N}) = \{ \beta =(b_n) \in \ell^2: b_n\geq 0\}$ ser el positivo de cono en $\ell^2$

Para cada $\beta\in K$ nuestra hipótesis es que el $0\leq T\beta= \sum_n a_n b_n < +\infty$. Como usted lo menciona es suficiente para mostrar que $T$ es un delimitada lineal funcional. Así que supongamos que no lo es. A continuación, usted puede encontrar una secuencia de vectores $\beta_1,\beta_2,...$ $K$ con las propiedades que para todos los $j\geq 1$:

(0) : $\|\beta_j\| \leq 1$

(1) : $T\beta_{j} = 4^j$

Ahora definir la ($\ell^2$-convergente) y la suma de $x = \sum_{j\geq 1} 2^{-j} \beta_j \in K$. Cada $\beta_j$ es una secuencia positiva, por lo que al calcular el $Tx$ sólo añadir los números positivos. Por monotonía, tenemos para todos los $j\geq 1$:

$$ Tx \geq 2^{-j} T\beta_j = 2^j$$ Por lo $Tx=+\infty$ contrario a la hipótesis.

Answer 3

Para cada $n$, definir $a^{(n)}=\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},0,0,\ldots\}\in l^{2}$. Definir $\theta^{n}\in(l^{2})^{\ast}$ $\theta^{n}(x)=\langle a^{(n)},x\rangle=\sum_{k=1}^{n}a_{k}x_{k}$.

Cada $x\in l^{2}$, la secuencia $\{\theta^{n}(x)\}_{n}$ es limitado porque la serie infinita $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}x_{k}$ es convergente. Por principio uniforme fronteridad, $\sup_{n}||\theta^{n}||=M<\infty$. Por el teorema de representación de Riese, $\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}=||a^{(n)}||^{2}=||\theta^{n}||^2\leq M^2$. Sigue que $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{2}<\infty$.

Answer 4

Creo que tu afirmación es falsa: considere el caso $a_n$ = 1 y $b_n$ = $1/n^2$.

CORRECCIÓN: Lo sentimos, esto no es un contraejemplo válido - mal leí la implícita 'para todos' secuencias $b_n$. Por favor disculpen mi prisa.