Evaluación de integrales impropias

Question

Dejemos que $f(x)$ sea una función de valor real de variable real $x$ cuya antiderivada es difícil de obtener. Supongamos que queremos calcular la integral definida $$I=\int_a^\infty f(x)\text{d}x,$$ donde $a$ es finito.

Asumiendo que todos los intentos estándar para evaluar la integral han fallado, ¿es el siguiente método plausible y/o conocido? :

Calcule la serie de potencias de $f(x)$ en $\infty$ (de modo que obtenemos una serie de potencias en términos de potencias de $1/x$ ). Integrar la serie de potencias resultante, posiblemente (?) sobre un intervalo, digamos $[0,y]$ o $[1,y]$ para evitar las constantes de integración, y asumiendo la convergencia, dejemos que $y\longrightarrow 0$ . Esto debería (?) dar el límite de la antiderivada de $f(x)$ en $\infty$ .

Calcule el límite inferior de forma similar. Resta los dos límites. El resultado debe ser el número real $I$ .

Answer 1

Aunque no entiendo muy bien la estrategia que describes en los dos últimos párrafos de la pregunta, el método general de integración de la serie de Taylor funcionará siempre que

1. $a>0$ ,
2. $f$ es la restricción a $(a,\infty)$ de una función compleja que es analítica en una vecindad de $\infty$ que contiene el complemento de un disco de la forma $\{|z|\leq r\}$ donde $r<a$
3. $f=O(1/|z|^2)$ en $\infty$ (en otras palabras, no hay una constante o $1/z$ término de la serie de Taylor).

La suposición de analiticidad es importante, ya que de lo contrario se podría tomar una función de protuberancia suave positiva soportada en $(a,\infty)$ y la serie de Taylor en $\infty$ tendría todos los ceros para los coeficientes - lo que daría una integral de cero por integración de series, pero la integral ciertamente no es cero ya que la función es no negativa y no nula. Además, la suposición de que $f=O(1/|z|^2)$ en $\infty$ es importante, como demuestran varios ejemplos elementales como $1/z$ (que no es integrable en $(a,\infty)$ ).

Para las hipótesis dadas, la prueba sería la siguiente: Primero, $\int_a^\infty |f(x)|dx<\infty$ por la hipótesis 3 y la continuidad en $[a,\infty)$ .

Si $f(x)=\sum_{j=2}^\infty c_j(1/x)^j$ es la serie de Taylor entonces por la hipótesis 2, $\sum_{j=2}^\infty |c_j|(1/a)^j<\infty$ así que $$\begin{align} \sum_{j=2}^\infty\int_a^\infty |c_j|(1/x)^jdx&= \sum_{j=2}^\infty |c_j|a^{1-j}/(j-1)\\ &=a\sum_{j=2}^\infty |c_j|(1/a)^j/(j-1)\\ &\leq a\sum_{j=2}^\infty |c_j|(1/a)^j\\ &<\infty \end{align}$$ por lo tanto $[x\mapsto \sum_{j=2}^\infty |c_j(1/x)^j|]\in L^1(a,\infty)$ por convergencia monótona. Así, $$\begin{align} \int_a^\infty f(x)dx&=\int_a^\infty\lim_{n\to \infty}\sum_{j=2}^nc_j(1/x)^jdx \\ &=\lim_{n\to \infty}\int_a^\infty \sum_{j=2}^nc_j(1/x)^jdx \\ &=\lim_{n\to \infty}\sum_{j=2}^nc_j\int_a^\infty (1/x)^jdx \\ &=\sum_{j=2}^\infty c_ja^{1-j}/(j-1). \end{align}$$ La primera igualdad es la convergencia puntual de la serie a la función $f$ que es válida por la hipótesis 2, la segunda igualdad es por convergencia dominada, que se justifica por el argumento de convergencia monótona dado anteriormente.

Ejemplo: $$f(x)=\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{x^2}\frac{1}{1-(-1/x^2)}=\frac{1}{x^2}\sum_{k=0}^\infty (-1)^k(1/x^2)^k=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k(1/x^{2k+2})$$ la tercera igualdad sólo es válida si $x>1$ , en cuyo caso $$\int_a^\infty f(x)dx=\sum_{k=0}^\infty(-1)^ka^{-1-2k}/(1+2k)$$ proporcionó $a>1$ . Si $a<1$ entonces la serie ni siquiera converge porque, a pesar de la analiticidad real de $1/(1+x^2)$ en toda la línea real, la expansión en $\infty$ no se puede continuar hasta el disco unitario ya que hay singularidades en $\pm i$ en el círculo unitario. Por eso la hipótesis 2 es crucial.

Para comprobarlo, observe que $1/(1+x^2)$ tiene una bonita antiderivada $\arctan(x)$ ... para que puedas comparar la respuesta de la serie con la respuesta habitual $$\int_a^\infty 1/(1+x^2)dx=\pi/2-\arctan(a).$$ Desde $a\mapsto \pi/2-\arctan(a)$ y $a\mapsto \sum_{k=0}^\infty(-1)^ka^{-1-2k}/(1+2k)$ tienen la misma derivada en $(1,\infty)$ y el mismo límite que $a\rightarrow \infty$ Estas respuestas son las mismas.