Aunque no entiendo muy bien la estrategia que describes en los dos últimos párrafos de la pregunta, el método general de integración de la serie de Taylor funcionará siempre que
- $a>0$ ,
- $f$ es la restricción a $(a,\infty)$ de una función compleja que es analítica en una vecindad de $\infty$ que contiene el complemento de un disco de la forma $\{|z|\leq r\}$ donde $r<a$
- $f=O(1/|z|^2)$ en $\infty$ (en otras palabras, no hay una constante o $1/z$ término de la serie de Taylor).
La suposición de analiticidad es importante, ya que de lo contrario se podría tomar una función de protuberancia suave positiva soportada en $(a,\infty)$ y la serie de Taylor en $\infty$ tendría todos los ceros para los coeficientes - lo que daría una integral de cero por integración de series, pero la integral ciertamente no es cero ya que la función es no negativa y no nula. Además, la suposición de que $f=O(1/|z|^2)$ en $\infty$ es importante, como demuestran varios ejemplos elementales como $1/z$ (que no es integrable en $(a,\infty)$ ).
Para las hipótesis dadas, la prueba sería la siguiente: Primero, $\int_a^\infty |f(x)|dx<\infty$ por la hipótesis 3 y la continuidad en $[a,\infty)$ .
Si $f(x)=\sum_{j=2}^\infty c_j(1/x)^j$ es la serie de Taylor entonces por la hipótesis 2, $\sum_{j=2}^\infty |c_j|(1/a)^j<\infty$ así que \begin{align} \sum_{j=2}^\infty\int_a^\infty |c_j|(1/x)^jdx&= \sum_{j=2}^\infty |c_j|a^{1-j}/(j-1)\\ &=a\sum_{j=2}^\infty |c_j|(1/a)^j/(j-1)\\ &\leq a\sum_{j=2}^\infty |c_j|(1/a)^j\\ &<\infty \end{align} por lo tanto $[x\mapsto \sum_{j=2}^\infty |c_j(1/x)^j|]\in L^1(a,\infty)$ por convergencia monótona. Así, \begin{align} \int_a^\infty f(x)dx&=\int_a^\infty\lim_{n\to \infty}\sum_{j=2}^nc_j(1/x)^jdx \\ &=\lim_{n\to \infty}\int_a^\infty \sum_{j=2}^nc_j(1/x)^jdx \\ &=\lim_{n\to \infty}\sum_{j=2}^nc_j\int_a^\infty (1/x)^jdx \\ &=\sum_{j=2}^\infty c_ja^{1-j}/(j-1). \end{align} La primera igualdad es la convergencia puntual de la serie a la función $f$ que es válida por la hipótesis 2, la segunda igualdad es por convergencia dominada, que se justifica por el argumento de convergencia monótona dado anteriormente.
Ejemplo: $$ f(x)=\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{x^2}\frac{1}{1-(-1/x^2)}=\frac{1}{x^2}\sum_{k=0}^\infty (-1)^k(1/x^2)^k=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k(1/x^{2k+2}) $$ la tercera igualdad sólo es válida si $x>1$ , en cuyo caso $$ \int_a^\infty f(x)dx=\sum_{k=0}^\infty(-1)^ka^{-1-2k}/(1+2k) $$ proporcionó $a>1$ . Si $a<1$ entonces la serie ni siquiera converge porque, a pesar de la analiticidad real de $1/(1+x^2)$ en toda la línea real, la expansión en $\infty$ no se puede continuar hasta el disco unitario ya que hay singularidades en $\pm i$ en el círculo unitario. Por eso la hipótesis 2 es crucial.
Para comprobarlo, observe que $1/(1+x^2)$ tiene una bonita antiderivada $\arctan(x)$ ... para que puedas comparar la respuesta de la serie con la respuesta habitual $$ \int_a^\infty 1/(1+x^2)dx=\pi/2-\arctan(a). $$ Desde $a\mapsto \pi/2-\arctan(a)$ y $a\mapsto \sum_{k=0}^\infty(-1)^ka^{-1-2k}/(1+2k)$ tienen la misma derivada en $(1,\infty)$ y el mismo límite que $a\rightarrow \infty$ Estas respuestas son las mismas.
