En $\triangle ABC$ , si $\cos A\cos B\cos C=\frac{1}{3}$ entonces $\tan A\tan B+\tan B \tan C+\tan C\tan A =\text{???}$

Question

En $\triangle ABC$ , si $$\cos A \cos B \cos C=\frac{1}{3}$$ entonces podemos encontrar el valor de $$\tan A\tan B+\tan B \tan C+\tan C\tan A$$ ?

Por favor, den alguna pista. No estoy seguro de si $\tan A \tan B+\tan B \tan C+\tan C \tan A$ será constante bajo una condición determinada.

Answer 1

Dejemos que $$S=\tan A\tan B+\tan B\tan C+\tan C\tan A$$

Multiplicando por $\cos A \cos B \cos C=\frac 13$ obtenemos $$\frac 13S=\sin A\sin B\cos C+\cos A\sin B\sin C+\sin A\cos B \sin C$$

Sin embargo, $$\cos(A+B+C)=-1=\cos A\cos B\cos C-\sin A\sin B\cos C-\sin A\cos B\sin C-\cos A\sin B\sin C$$

Por lo tanto, $$\frac 13S=\cos A\cos B\cos C+1=\frac 43\Rightarrow S=4$$

Answer 2

La respuesta a la pregunta es no. El valor máximo de $\cos A \cos B \cos C$ , donde $A$ , $B$ y $C$ son los ángulos de un triángulo en el plano, es $\frac{1}{8}$ por lo que no hay ningún triángulo plano para el que $\cos A \cos B \cos C=\frac{1}{3}$ .

El producto $\cos A \cos B \cos C$ es igual a $\frac{1}{8}$ para un triángulo equilátero, y el hecho de que sea un máximo se deduce de que para cualquier triángulo agudo* $\triangle ABC$ el producto es mayor para el triángulo "más equilátero" con ángulos $\frac{A+B}{2}$ , $\frac{A+B}{2}$ y $C$ porque $$\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos C-\cos A\cos B\cos C= \frac{1-\cos(A+B)}{2}\cdot\cos C>0.$$

*Podemos suponer que el triángulo es agudo (y $\cos C>0$ ), porque de lo contrario el producto $\cos A \cos B \cos C \le 0$ (sólo un ángulo en un triángulo dado puede ser no agudo, por lo que sólo uno de los cosenos puede ser no positivo) y $\triangle ABC$ no puede ser uno para el que $\cos A \cos B \cos C$ es un máximo.

Sin embargo, esto podría ser una cuestión interesante para los triángulos en una superficie de curvatura negativa.

Answer 3

Pista: Para un triángulo ABC

$A+B=\pi-C$

y

$1-2\cos A \cos B \cos C=\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C$

Editar $1$ : $A+B=\pi-C$

Aplique $\cos$ en ambos lados

Dividir cada término por $\cos A.\cos B$

Obtenemos $\tan A.\tan B=1+\frac{\cos C}{\cos A. \cos B}$

Del mismo modo, escriba $2$ más ecuaciones y añadir tres ecuaciones.

Ahora usa $1-2\cos A \cos B \cos C=\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C$

Answer 4

Reformulando la respuesta de Matemáticas:

Utilizando Demostrar que $\cos (A + B)\cos (A - B) = {\cos ^2}A - {\sin ^2}B$ y $\cos(A+B)=\cdots=-\cos C$

$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1+\cos^2A-\sin^2B+\cos^2C=1-2\cos A\cos B\cos C$

Si $\cos A\cos B\cos C=S$

$\iff\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1-2S$ dejar $y=\tan A\tan B\iff y-1=-\dfrac{\cos(A+B)}{\cos A\cos B}=\dfrac{\cos^2C}S$

$\iff\cos^2C=S(y-1)$

$\sum S(y-1)=\sum\cos^2C=1-2S\iff y=3+\dfrac{1-2S}S$

Aquí $S=\dfrac13$