Prueba por inducción de que $n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3$ es un múltiplo de $9$ . Por favor, marque/califique.

Question

¿Qué te parece mi primera prueba de inducción? Por favor, puntúa/califica.

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Teorema

La suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es un múltiplo de 9.

Prueba

En primer lugar, introduciendo un predicado $P$ en $\mathbb{N}$ , reformulamos el teorema de la siguiente manera. $$\forall n \in \mathbb{N}, P(n) \quad \text{where} \quad P(n) \, := \, n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 \text{ is a multiple of 9}$$ Demostramos el teorema por inducción en $n$ .

Base

A continuación, mostramos que tenemos $P(n)$ para $n = 0$ . $$0^3 + 1^3 + 2^3 = 0 + 1 + 8 = 9 = 9 \cdot 1$$

Paso inductivo

A continuación, mostramos que para todos los $n \in \mathbb{N}$ , $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$ .

Dejemos que $k \in \mathbb{N}$ . Suponemos que $P(k)$ es válida. A continuación, utilizamos este supuesto para demostrar que $P(k + 1)$ se mantiene.

Por la suposición, existe un $i \in \mathbb{N}$ tal que $i \cdot 9 = k^3 + (k + 1)^3 + (k + 2)^3$ . Utilizamos este hecho en la siguiente transformación equivalente. La transformación convierte la suma de cubos en la primera línea, para lo cual necesitamos demostrar que es un múltiplo de 9, en un producto de 9 y otro número natural.

$(k + 1)^3 + (k + 2)^3 + (k + 3)^3 \\ = (k + 1)^3 + (k + 2)^3 + k^3 + 9k^2 + 27k + 27 \\ = k^3 + (k + 1)^3 + (k + 2)^3 + 9k^2 + 27k + 27 \quad | \text{ using the induction hypothesis} \\ = 9i + 9k^2 + 27k + 27 \\ = 9 \cdot i + 9 \cdot k^2 + 9 \cdot 3k + 9 \cdot 3 \\ = 9 \cdot (i + k^2 + 3k + 3)$

Vemos que el producto anterior tiene precisamente dos factores: 9 y otro número natural. Por tanto, el producto es un múltiplo de 9. Esto completa la inducción.

Answer 1

No creo que esta sea una pregunta real, pero si fueras mi alumno te daría un sobresaliente.
Para mí todo está bien.

Answer 2

Está bien, aquí hay una prueba más simple sin inducción:

$n^3\equiv n\ (\text{mod }3)$ porque evidentemente es válida para $n=-1,0,1$ .

Por lo tanto, $3n^3\equiv3n\ (\text{mod 9})$ y $$(n-1)^3+n^3+(n+1)^3\equiv3n^3+6n\equiv0\ (\text{mod }9)$$

Answer 3

Formulación, caso base, hipótesis inductiva, paso inductivo, todo se ve bien. :)

También se podría concluir con una declaración aclaratoria sobre lo que se ha hecho: que la hipótesis es verdadera para todos $n \in \Bbb N$ .