El rango y los valores propios del operador $T(M) = AM - MA$ en el espacio de matrices

Question

Este problema es de Artin Álgebra Segunda edición, 5.2.3.

Deje $A$ $n\times n$ matriz compleja.

(a) Considere el operador lineal $T$ definido en el espacio de $\mathbb{C}^{n\times n}$ de todo el complejo $n\times n$ matrices por la regla de $T(M) = AM - MA$. Demostrar que el rango de este operador es en la mayoría de las $n^2-n$

(b) Determinar los autovalores de a $T$ en términos de los valores propios $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$$A$.

Para la parte (a), he intentado utilizar la Fórmula de la Dimensión. Pero, no sé cómo encontrar a $\dim(\ker(T))$ es mayor que igual a $n$.

Para la parte (b), la verdad, no sé...

Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Sugerencia: si $A$ es diagonal, las cosas son bastante simples. Matrices diagonalizable son densas...

Answer 2

Si $ A$ es diagonalizable entonces podemos dejar $$ A = {\rm diag} \ (\lambda_1,\cdots, \lambda_n)$$

Si $e_{ij}$ es una matriz cuya entrada sólo distinto de cero $(i,j)$-entrada y su valor es $1$, entonces $$[e_{aa},e_{ia}]=-e_{ia},\ [ e_{ii},e_{ia}]=e_{ia}\ (i\neq a)$ $

$T$ Es diagonalizable y $$ T (e_ {ia}) =(-\lambda_a+\lambda_i) e_ {ia} $$

Es $\{ e_{ii}\}$ en espacio de kernel.