Álgebras de Lie de matriz

Question

Me dio una respuesta a ¿hay un grupo de entre $SO(2,\mathbb{R})$$SL(2,\mathbb{R})$? que no era popular.

Mientras tanto, me encontré en una pérdida cuando se desea explicar por qué una matriz de Mentira, como un espacio de la tangente en $I,$ no sólo es un espacio vectorial, pero una Mentira algenra, con el soporte de acuerdo con $[A,B] = AB-BA$ a partir de la multiplicación de la matriz, que la matriz exponencial de un soporte nos sitúa de nuevo en el mismo grupo, y así sucesivamente. Yo lo que creo es una prueba en una dirección usando esto: http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula#Matrix_Lie_group_illustration

http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_group

Tengo la Matriz de Grupos por Curtis, que él no va tan lejos. Yo también tengo los Fundamentos de la Diferenciable Colectores y la Mentira de los Grupos por parte de Warner, que parece hacer grandes porciones de este.

Aún así, no estoy del todo satisfecho: con matrices, ¿por qué la Mentira de soporte de acuerdo con la matriz de soporte, dada una matriz de grupo por qué es la identidad, el espacio de la tangente a ambos un espacio vectorial y una Mentira álgebra, dado un espacio de la tangente a la identidad que es una Mentira álgebra en virtud de la matriz de soporte, ¿por qué nos da un grupo de menores de la matriz exponencial?

Answer 1

Este rápidamente se metió más de lo que pensé que sería, y estoy seguro de que inadvertidamente se omite algo. Si usted tiene alguna pregunta, siéntase libre de preguntar.

Definición: (Mentira Álgebra) Un álgebra de la Mentira es un verdadero espacio vectorial $V$ equipada con una operación $$[\cdot,\cdot]:V\times V\to V,$$ llamado el soporte de la Mentira de álgebra, de tal manera que

• $[\cdot,\cdot]$ es bilineal. Es decir, para $u,v,w\in V$ y $r\in\mathbb{R}$, $[u+v,w]=[u,w]+[v,w]$, $[u,v+w]=[u,v]+[u,w]$, y $[ru,v]=[u,rv]=r[u,v]$.
• $[\cdot,\cdot]$ es alterna. Es decir, para $v\in V$, $[v,v]=0$.
• $[\cdot,\cdot]$ satisface la identidad de Jacobi. Es decir, para $u,v,w\in V$, $$[u,[v,w]]+[v,[w,u]]+[w,[u,v]]=0.$$

Esta es una definición abstracta de un álgebra de la Mentira. Como podemos ver, una Mentira el álgebra es un espacio vectorial, por definición.$^*$ Pero, ¿qué acerca de la Mentira de álgebra asociada a una Mentira grupo?

El producto en la Mentira de álgebra de Lie del grupo puede ser definido por el uso de la típica Mentira de soporte de $[X,Y]=XY-YX$ sobre campos vectoriales, donde estamos tratando campos vectoriales como derivaciones de la asignación de las funciones lisas para suavizar las funciones. Simplemente extender $X_\mathrm{e}\in T_\mathrm{e}G$ a el campo de vectores $X:g\mapsto X_g=(g)^L_*X_\mathrm{e}$ donde $(g)^L_*$ es el pushforward de izquierda multiplicando por $g\in G$ (Actuando en la izquierda o a la derecha en realidad no importa). Luego, simplemente podemos definir $[X_\mathrm{e},Y_\mathrm{e}]=[X,Y]_\mathrm{e}$.

Proposición 1: El espacio de la tangente $T_\mathrm{e}G$ a la identidad de $\mathrm{e}$ de la Mentira de grupo $G$, equipado con el soporte de la operación definida en el párrafo anterior, es una Mentira álgebra.

Por el bien de ayudar a la práctica (la Práctica es la única manera de entender realmente la Mentira de la teoría), voy a dejar esta prueba como un ejercicio. Es sólo una cuestión de comprobación de los axiomas. Si tiene problemas, voy a ser feliz para ayudarle a abajo, en los comentarios.

Hay varias definiciones de la exponencial mapa. Sin embargo, mi primera elección cuando voy a probar algo que es la que yo considero más útil. Para dar esa definición, necesitamos un poco más de la terminología.

Definición: (parámetro 1-Subgrupo de Un parámetro 1-subgrupo en una Mentira grupo $G$ es una Mentira grupo homomorphism (un suave homomorphism entre Mentira grupos) entre $\mathbb{R}$$G$.

Nota, en primer lugar, que esto NO es un subgrupo. Es un homomorphism. A veces, es útil pensar en ellos como copias de $\mathbb{R}$$G$, y es por eso que el término viene, pero que no son en sí mismos subgrupos.

El conjunto de todos los parámetro 1-subgrupos, por otro lado, se forma un espacio vectorial. De hecho, este espacio vectorial es isomorfo a $T_\mathrm{e}G$. La prueba de que yo sé de esto es algo tedioso, pero la intuición es bastante sencillo: hay un bijection entre la tangente vectores (pensando como hicimos en la escuela secundaria de "magnitud y dirección") en $T_\mathrm{e}G$ y las rutas de acceso a través de $\mathrm{e}\in G$ con determinada velocidad ("magnitud y dirección") a $\mathrm{e}$. Con esta intuición en la mano, se definen nuestra exponencial mapa.

Definición: (Exponencial Mapa) Deje $\mathfrak{g}$ ser la Mentira de álgebra de Lie del grupo de $G$. A continuación, el mapa exponencial $\exp:\mathfrak{g}\to G$ mapas de $X_\mathrm{e}\in\mathfrak{g}$ $\theta(1)\in G$donde $\theta:\mathbb{R}\to G$ es el único parámetro 1-subgrupo tal que $\theta_*(\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_0)=X_\mathrm{e}$. (Es decir, $\theta$ es el único parámetro 1-subgrupo de $G$ de manera tal que su vector tangente a $\mathrm{e}$$X_\mathrm{e}$.)

Por lo tanto, por definición, $\exp$ mapas en $G$. Pero, ¿qué acerca de la matriz exponencial?

Proposición 2: El mapa de $$\exp:\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})\to GL_n(\mathbb{R}),~X\mapsto\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}X^k$$ satisface la definición de la exponencial mapa.

Prueba: Considerar el mapa de $\gamma_X:\mathbb{R}\to GL_n(\mathbb{R}),~t\mapsto\exp(tX)$ donde $X\in\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})$ ($X$ puede ser cualquier real $n\times n$ de la matriz). Tenga en cuenta que $\gamma_X$ hace, en efecto, mapa en $GL_n(\mathbb{R})$, ya que el $\exp(tX)^{-1}=\exp(-tX)$, lo $\gamma_X(t)$ es invertible. Claramente, $\gamma_X$ es suave, y $(\gamma_X)_*(\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_0)=X$. Queda por demostrar que $\gamma_X(t+s)=\gamma_X(t)\gamma_X(s)$, para mostrar que $\gamma_X$ es un homomorphism. Pero, un clásico de la propiedad de la matriz exponencial es que $\exp((t+s)X)=\exp(tX)\exp(sX)$, por lo que estamos por hacer. Por lo tanto, $\gamma_X$ es un parámetro 1-subgrupo, y $\gamma_X(1)=\exp(X)$ es la imagen de $X$ bajo la exponencial mapa. De desecho.

Por lo tanto, la matriz exponencial es la exponencial mapa de $GL_n(\mathbb{R})$ (e $GL_n(\mathbb{C})$, pero yo estoy pegado a reales para esta explicación). La ampliación de este, tenemos que la matriz exponencial es la exponencial mapa para todos los de la matriz Mentira grupos (matriz Mentira grupos son Mentira subgrupos de $GL_n(\mathbb{R})$ algunos $n$).

Ahora, en lugar de probar que la matriz Mentira álgebra de cada matriz Mentira grupo es isomorfo a lo abstracto Mentira álgebra de Lie del grupo, voy a mostrar cómo se usa la última idea pseudo-rigurosamente obtener el primero, ya que creo que esto es más instructivo. Como antes, si más rigor se solicita, más le será dado.

Cuando pienso acerca de la Mentira de álgebras de Lie grupos, creo que de los elementos de la Mentira álgebra como vectores tangente, lo que conduce a la idea de "infinitesimal" de los elementos del grupo. Por ejemplo, dado que el grupo ortogonal $O_n(\mathbb{R})$, podemos pensar que su Mentira álgebra elementos como imperceptiblemente pequeñas rotaciones. En otras palabras, $X\in\mathfrak{o}_n(\mathbb{R})$ implica que, para algunos, $\varepsilon > 0$ tal que $\varepsilon^2=0$ (nótese que un $\varepsilon$ no existe), $(I+\varepsilon X)\,``\in"O_n(\mathbb{R})$ donde $I$ es la matriz identidad. Pero, puesto que el $A\in O_n(\mathbb{R})$ si y sólo si $AA^T=I$, $X\in\mathfrak{o}_n(\mathbb{R})$ "si y sólo si" $$(I+\varepsilon X)(I+\varepsilon X)^T=I+\varepsilon(X+X^T)+\varepsilon^2XX^T=I+\varepsilon(X+X^T)=I,$$ so $X+X^T=0$, which is the definition for $\mathfrak{o}_n(\mathbb{R})$. Por lo tanto, el pensamiento de la Mentira álgebra elementos como la tangente vectores nos da la matriz Mentira álgebra interpretación.

Puesto que usted tiene un de referencia de la solicitud de etiqueta, voy a sugerir J. Frank Adams Conferencias sobre la Mentira de los Grupos, que proporciona una fácilmente entendibles introducción al resumen de la Mentira de los grupos. También, en el Capítulo 10 de Spivak es Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial, Volumen 1 (yo uso la 3ª edición) es, como se pretende, bastante completa.

$^*$Para los fans de la categoría de la teoría, me refiero a que es evidente que hay un olvidadizo functor de cada Mentira álgebra para su subyacente espacio vectorial.