¿Explicación del "punto genérico" con ejemplos?

Question

¿Podría alguien explicarme por qué $X$ y $Y$ son puntos genéricos de $\mathbb{R}[X, Y]/(XY)$ ?

Y por qué el ideal generado por el polinomio irreducible es un punto genérico en $\mathbb{R}[X, Y]$ ?

Answer 1

Un plan $S$ tiene un punto genérico si y sólo si su espacio topológico subyacente $|S|$ es irreducible, en cuyo caso existe un único punto $\eta\in S$ tal que $\overline { \lbrace \eta \rbrace}=|S|$ .

Si $S=Spec(A)$ es un esquema afín, la irreductibilidad equivale a la condición de que $Nil(A)$ el nilradical, sea primo o, de forma equivalente, que la reducción $A_{red}=A/Nil(A)$ sea un dominio.
En su caso $A=\mathbb R[X, Y]/(XY)=\mathbb R[x,y] \;$ ya está reducido pero no es un dominio , por lo que $Spec(A)$ no tiene un punto genérico.
¿Fin de la historia? ¡No!

Si un régimen $S$ no es irreducible, $|S|$ tiene una descomposición en componentes irreducibles $S=\bigcup S_i$ Cada uno de ellos $S_i$ teniendo un punto denso $\eta_i$ . Esos $\eta_i$ se llaman puntos máximos o incluso (por "abuso de lenguaje") puntos genéricos de $S$ .
En el caso afín, corresponden a la mínimo ideales ${\mathfrak p_i}\subset A$ .
En tu caso tienes dos puntos máximos $\eta_x, \eta_y$ correspondiente a los dos únicos ideales mínimos $(x),(y)$ de $k[x,y]$ .
Son los puntos genéricos (=densos) de las líneas $V(x)$ y $V(y)$ que son los componentes irreducibles de su esquema $S=Spec(k[x,y])$