Encontrar $x$ tal que % $ $$\sqrt{x+\sqrt{x+7}}\in \mathbb{N}$
He intentado de muchas maneras: $$\sqrt{x+\sqrt{x+7}}=n$ $ $$\sqrt{x+\sqrt{x+7}}^2=n^2$ $ $$x+\sqrt{x+7}=n^2$ $
luego resolver $x$ pero no con éxito.
Creo que este es el problema más difícil en mi vida
También debe hacerse $x$ $2$ dígito.
Gracias a todos por ayudarme a entender este problema y su solución!
$$x + 7 = ((n^2)-x)^2 = n^4 - 2n^2x + x^2$$ $$x^2-(2n^2+1)x+n^4-7=0$$ $$x_{1,2}=\frac{2n^2+1 \pm \sqrt{(2n^2+1)^2-4(n^4+7)}}{2}\\ =\frac{2n^2+1 \pm \sqrt{4n^4+4n^2+1-4n^4+28}}{2}\\ =\frac{2n^2+1 \pm \sqrt{4n^2+29}}{2}\\$$
Este es un entero si y sólo si $ \sqrt{4n^2+29}$ es un número entero (de lo contrario se sigue inmediatamente a partir de la observación de que, si $\sqrt{4n^2+29}$ es un número entero, debe ser impar.
Reivindicación 1: Si $\sqrt{4n^2+29}$ es un número entero, entonces $n \leq 7$.
Prueba: $$\sqrt{4n^2+29} > \sqrt{4n^2}=2n \,.$$ Así $$\sqrt{4n^2+29} \geq 2n+1 \,.$$ Por lo tanto $$4n^2+29 \geq 4n^2+4n+1 \,.$$
Esto implica que $n \leq 7$, con igualdad si y sólo si $n=7$.
Reivindicación 2: Si $\sqrt{4n^2+29}$ es un número entero, y $n \neq 7$$n \leq 1$.
Prueba: Exactamente igual que en la Reivindicación $1$ $$\sqrt{4n^2+29} \geq 2n+1 \,.$$
Sin embargo, hemos demostrado que sólo tenemos igualdad de $n=7$. Así $$\sqrt{4n^2+29} > 2n+1 \,.$$
Como $\sqrt{4n^2+29}$ es impar, obtenemos $$\sqrt{4n^2+29} \geq 2n+3 \,.$$ $$4n^2+29 \geq 4n^2+12n+9 \,.$$ $$29 \geq 12n+9 \,.$$
Por lo tanto $n \leq 1$.
Así se demostró que la única $n$ los que puede trabajar se $n = 0, n = 1$$n = 7$.
Si $$n=0 \Rightarrow x_{1,2} =\frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} \noen \mathbb Z$$ $$n=1 \Rightarrow x_{1,2} =\frac{2+1 \pm \sqrt{4+29}}{2}\noen \mathbb Z$$ $$n=7 \Rightarrow x_{1,2} =\frac{99 \pm 15}{2}$$
P. S. no olvide que nos cuadrado par de veces, lo que significa que las soluciones que tengo son soluciones a $$x + 7 = ((n^2)-x)^2 = n^4 - 2n^2x + x^2$$ pero no necesariamente a la pregunta original.
Uno necesita comprobar en la ecuación original, y sólo uno de ellos funciona.
La razón por la que la otra solución que no funciona es debido a que aparece como un extra de solución cuando nos cuadrado: $$\sqrt{x + 7 }= (n^2)-x$$
Si observamos en la ecuación original que $n^2 \geq x$, esto elimina el mal extra solución .
Ensayo y Error
Supongo que quieres $x$ a ser un número entero. Puede $x+7$ una plaza para que $\sqrt{x+7}\in\mathbb{N}$... $x+7\in\{1,4,9,16,25,36,49,64\dots\}$ y por lo tanto $$ \begin{align}x&\in\{-6,-3,2,18,29,42,57,\dots\} \end{Alinee el} $$
Pero quieres $x+\sqrt{x+7}$ ser un cuadrado así que mire los valores correspondientes de la misma:
$$x+\sqrt{x+7}\in\{-5,-1,5,22,34,49,65,\dots\}.$$
Uno de ellos es plazas, correspondientes a $x=42$.
Queremos encontrar a $a \in \mathbb{N}$ tal que $$a = \sqrt{x + \sqrt{x + 7}}.$$ También implícito en la cuestión fue que $x \in \mathbb{N}$, pero que no fue declarado, sólo implícita la afirmación de que $x$ es de dos dígitos.
Deje $n = \sqrt{x + 7}$. A continuación,$x = n^2 - 7$. Sustituyendo en la ecuación original: $$\begin{align} a = & \sqrt{n^2 + n - 7}\\ 0 = & n^2 + n - 7 - a^2 \end{align}$$ La solución para $n$: $$n = -\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{4 a^2 + 29}$$ Conectar cualquier $a > 1$ en esta ecuación producirá un valor válido para $n$ y, por tanto,$x$, pero por lo general no ser entero.
Para $n$ y, por tanto, $x$ a ser entero, $4 a^2 + 29$ debe ser un cuadrado perfecto, y además una extraña cuadrado perfecto. Podemos reescribir esto como $(2a)^2 + 29 = b^2$ donde $a, b \in \mathbb{N}$, lo que significa que dos cuadrados perfectos debe tener una diferencia de 29, y esto sólo ocurre para $(2a)^2 = 14^2$$b^2 = 15^2$. Por lo tanto, la solución de atrás, $a = 7$, $n = 7$, y $x = 42$.
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