Evaluar $\int_{|C|=2} \frac{dz}{z^2 + 2z + 2}$ usando Cauchy-Goursat

Question

He dividido la integral alrededor de $z_1 = 1 - i$ $z_2 = 1+ i$ el uso de los contornos $C_1$$C_2$:

$ \int_{|C|=2} g(z) dz = \int_{C_1} g(z) dz + \int_{C_2} g(z) dz$

En este caso, $g(z)$$C_1$$\displaystyle \frac{\frac{1}{z-z_1}}{z-z_2}$$g(z)$$C_2$$\displaystyle \frac{\frac{1}{z-z_2}}{z-z_1}$. El uso de Cauchy del Thm llego $\displaystyle \frac{1}{z_2 - z_1}$ para el primero y $\displaystyle \frac{1}{z_1 - z_2}$ para el segundo. Pero la evaluación de

$\displaystyle \int_{|C|=2} g(z) dz = 2\pi i \left(\frac{1}{z_2 - z_1} + \frac{1}{z_1 - z_2} \right) = 0$

Yo no estoy interesado en otros métodos, sólo esta particular versión en la que está dividido el contorno de $C$ a $C_1$ $C_2$ Mi problema con esta respuesta es que no tiene sentido. Cuando la evaluación de una integral como $\displaystyle \int_{\infty}^{-\infty} \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}$ debe permitir $\displaystyle g(z) = \frac{1}{z^2 + 2z + 2}$ y, a continuación, integrar sobre el contorno de $C$. Yo habría pensado que la respuesta sería darle a me $\pi$

Answer 1

Las raíces del denominador son en $z_{\pm}=-1\pm i$. Entonces la integral es,

$$\oint_{|z|=2} \frac{dz}{(z-z_-)(z-z_+)} = \frac1{z_+-z_-} \oint_{|z|=2} dz \left (\frac1{z-z_+} - \frac1{z-z_-} \right )$$

Por Cauchy-Goursat, debe quedar claro que, puesto que ambos polos están dentro el círculo $|z|=2$, la integral es cero.

Answer 2

Tome $R>2$ y deje $\gamma_R$ ser la parte superior del semicírculo de $|z|=R$ y el verdadero intervalo de $[-R, R]$, tome $\gamma_R$ orientado positivamente:

Desde $z=1+i$ es la única singularidad dentro de $\gamma_R$ todos los $R>2$,luego $$ \int_{\gamma_R} \frac{dz}{z^2+2z+2} = 2\pi i \left(\frac{1}{z-(1+i)}\right)=2\pi i \left(\frac{1}{2}\right) = \pi \ \ \forall \ R>2 $$ En el otro lado si $\Gamma_R=Re^{it}$ $t\in[0,\pi]$, ($\Gamma_R$ es sólo la parte superior del semicírculo), a continuación,$\gamma_R=\Gamma_R \cup [-R,R]$, lo que $$ \int_{\gamma_R} \frac{dz}{z^2+2z+2} = \int_{\Gamma_R}\frac{dz}{z^2+2z+2} + \int_{-R}^R \frac{dx}{x^2+2x+2} $$ Puesto que la integral sobre la $\Gamma_R$ se desvanece al $R \to \infty$ $$ \pi = \lim_{R \to \infty }\int_{\gamma_R} \frac{dz}{z^2+2z+2} = \lim_{R \to \infty }\int_{\Gamma_R}\frac{dz}{z^2+2z+2} + \lim_{R \to \infty }\int_{-R}^R \frac{dx}{x^2+2x+2} = \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x^2+2x+2} $$