Encuentra el valor de la función en el punto dado.

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sea una función que satisfaga las condiciones
$$\begin{align*} (1)&f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}\\ (2)&f(0)=1\\ (3)&f'(0)=-1 \end{align*}$$ Encuentre el valor de $f(2)$ mediante una explicación adecuada.

Answer 1

Para empezar, introduzcamos la función $g(x)=f(x)+x-1$ . Esta función satisface la propiedad del punto medio (1), y $g(0)=g'(0)=0$ . Afirmamos que estas tres condiciones implican que $g(x)=0$ para todos $x\in\mathbb{R}$ .

Desde $g(0)=0$ se ve fácilmente que (1) implica $g(-x)=-g(x)$ para todos $x$ .

A continuación, observe que $g(x)-g(y)=2g((x-y)/2)$ para todos $x,y$ . De ello se desprende que $g$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ y que $g'(x)=g'(0)=0$ para todos $x$ .

Por lo tanto, $g$ es constante e igual a $g(0)=0$ . Así que $f(x)=1-x$ para todos $x$ .

En particular, encontramos $f(2)=-1$ .

Answer 2

En primer lugar, un ejemplo de una función que satisface todas las condiciones dadas: $g(x) = 1 - x$ . Evidentemente, si confiamos en que el problema tiene una sola respuesta, la respuesta está destinada a ser $g(2)=-1$ .

Por supuesto, esto no pasará como una solución completa, porque ahora tenemos que demostrar de alguna manera que $f(2)=-1$ para un arbitrario $f$ que satisface las tres condiciones. No hay ninguna garantía (al menos ninguna garantía evidente) de que tal $f$ debe ser igual a $g$ . Y aquí está la idea principal: es bastante fácil demostrar que $f(x)=1-x$ para cualquier diádico número $x \in \mathbb{R}$ . Esto significará automáticamente que $f(2)=-1$ .

PD: y si se piensa un poco más se puede incluso probar que $f(x)=1-x$ por cada $x \in \mathbb{R}$ .

PPS: la respuesta está pensada como una pista, pero puedo ampliarla a petición.

ACTUALIZACIÓN: expandiéndose, aunque ahora con todas estas otras respuestas no tiene mucho sentido.

La solución propuesta sería algo así. Primer paso: exploremos lo que nos dice (1). Llamemos a $\alpha = f(0)$ y $\beta = f(1)-f(0)$ . Así, tenemos la igualdad $f(x) = \alpha + \beta x$ para $x = 0$ y $x = 1$ . Utilizando (1) es casi trivial expandir esta igualdad primero a $\mathbb{Z}$ y luego al conjunto de todos los números diádicos. Así, para todos los números diádicos $x$ tenemos $f(x) = \alpha + \beta x$ . Utilizando (2) obtenemos ahora que $\alpha = 1$ y utilizando (3) obtenemos $\beta = -1$ .

Lo que dije en PPS es una simple variación de la misma lógica.

Esta es la forma en que estaba pensando en el problema. Si lo reduces al mínimo, obtendrás una solución similar a la respuesta de WimC.

Answer 3

A partir de (1) y (2): $2^k\left(f(2^{1-k})-1\right)=f(2)-1$ para todos $k \geq 0$ .

De (3): $\lim_{k\to \infty}2^k\left(f(2^{1-k})-1\right)=-2$ .

Así que $f(2)=-1$ .