¿Hay un problema en asumir que un punto es lo mismo de un vector?

Question

He leído Apostol del Cálculo, en la sección de geometría analítica. Él dice que él va a usar 'vector' y 'punto' de manera intercambiable.

Pero en Beardon del Álgebra y la Geometría, argumenta que no existe un acuerdo sobre lo que los vectores son, unos dicen que son los puntos en $\mathbb{R}^n$, algunos dicen que son dirigidas a los segmentos de línea y para otros son las clases de segmentos de línea en el que son el mismo si representan el mismo desplazamiento.

Tengo curiosidad por ver si los problemas que pueden aparecer por el supuesto de que cada una de las definiciones dadas por los Beardon es equivalente.

Answer 1

El punto - juego de palabras - aquí es que uno puede pensar de puntos en el espacio Euclidiano como ubicaciones en el espacio, sin ninguna referencia a un origen o un sistema de coordenadas. Como tal, dados dos puntos $P$$Q$, la diferencia de $Q-P$ (que se puede visualizar como el vector $\overrightarrow{PQ}$) le da a un bien se define cantidad vectorial, independiente de la selección de origen en nuestro espacio Euclidiano, mientras que la suma de $P$ $Q$ no tiene ningún significado intrínseco. Sin embargo, si persisten, la suma de un punto de $P$ y un vector $\overrightarrow{PQ}$ da un punto definido. :)

La geometría del espacio Euclidiano con no distingue el origen es a menudo llamado afín a la geometría.

Todo lo que dijo, no me suele hacer la distinción: Cuando enseño multivariable de cálculo y álgebra lineal, trabajamos en $\Bbb R^n$ como un espacio vectorial y mezclan puntos y vectores.