¿$d(x_{n+1},x_n)<d(x_n,x_{n-1})$ Implica algo?

Question

Que $(X,d)$ ser un espacio métrico completo, $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset X$ tal que $d(x_{n+1},x_n)<d(x_n,x_{n-1})$ % todos $n\in\mathbb{N}$. ¿Ya que yo no puedo construir tal secuencia que no es convergente, me pregunto si cada tal secuencia es convergente? Primero pensé en definir una secuencia de $y_n:=d(x_{n+1},x_n)\in[0,\infty)$ y comprobar si converge a cero, pero no parece fructífero. (Por supuesto, soy consciente de la definición de convergencia, que es mucho más fuerte que esto).

Answer 1

Que $x_0=1$, $x_n=x_{n-1}+1+\frac{1}{n}$ $n\ge 1$. Esto satisface su condición pero no es convergente.

Answer 2

La secuencia de sumas parciales $S_n:=\sum_{i=1}^n1/i$ $d(S_{n+1},S_n)<d(S_n,S_{n-1})$ de cumple pero no es convergente ya que $\lim_{n\to\infty}S_n=\sum_{i=1}^\infty1/i$ y la serie armónica no converge.

Answer 3

La suposición de que se dan aquí significa que la distancia entre términos consecutivos de $x_n$ es estrictamente decreciente. Por lo tanto la distancia entre términos consecutivos converge a un límite.

Esto no significa que la secuencia de $x_n$ convergerán, por ejemplo, $d(x_n, x_{n-1})$ podría tender a un límite distinto de cero como en el ejemplo dado por vadim123. Incluso si $d(x_n, x_{n-1}) \rightarrow 0$, todavía no se sigue que $x_n$ tiene un límite, para un contraejemplo ver la respuesta por gofvonx.

Si desea convergencia, se necesitan más supuestos para los que la distancia entre términos consecutivos. Por ejemplo, el siguiente es un truco común: si se supone que $d(x_n, x_{n-1}) \leq a_n$ donde $\sum_{i = 0}^\infty a_i$ converge, se deduce que el $x_n$ es de Cauchy, y por lo tanto converge si usted asume la totalidad.