¿$\sum \sin(n^2)/n$ Es convergente?

Question

¿Es la serie $$\sum_{n\ge 1} \frac{\sin(n^2)}{n}$ $ convergente?

Mis pensamientos hasta ahora:

1) es una serie alterna para la prueba de integración no funciona aquí.

2) la desigualdad de Weyl dice aproximadamente $$\sum_{n\le N} \sin(n^2)$$ is $ O(N^{1/2+\epsilon}) $, so the Dirichlet test does not work directly, but one can take $% $ $a_n=n^{-1},b_n=\sum_{k\le n} sin(k^2)$y seguir la idea de prueba de Dirichlet. El problema ahora es que Weyl obligado no tiene para todos los $N$.

Answer 1

Estás en el camino correcto. La clave está en considerar sumas parciales: $$ S_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{\sin(n^2)}{n} $ $ entonces encontrar una buena aproximación racional de $\pi$, según $N$, aplique limite de Weyl (o técnica de comparación de Weyl) para estimar el $\sum_{n=1}^{k}e^{in^2}$ y terminar a través de la suma parcial.

Detalles en página $11$ aquí (está en Italiano, espero que no te importa).