Ahora estoy leyendo un artículo sobre anillo euclidiano y una parte trata de los números enteros en $\mathbb Q(\sqrt{69})$. Un paso necesitado es demostrar que el anillo es una UFD (o probar PID). Ya que en el artículo esto se utilizarán antes de la definición de la función euclidiana, el hecho de deba ser probado sin utilizar que es euclidiana.
Respuesta
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David R.
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Supongamos que el anillo es en realidad un director ideal de dominio. Eso significa que puede encontrar un número con al menos dos factorizations, y el director ideal generado por ese número es el producto de ideales que no son ellos mismos principal.
Veamos $\textbf Z[\sqrt{-69}]$ por un breve instante. Fácilmente nos encontramos con que $$70 = 2 \times 5 \times 7 = (1 - \sqrt{-69})(1 + \sqrt{-69})$$ and so $\langle 70 \rangle = \langle 2, 1 + \sqrt{-69} \rangle^2 \langle 5, 1 - \ldots$ you get the idea. The class number is $8$, si no me equivoco, pero desde que yo sólo quería hacer el punto de que este anillo no es UFD, hemos terminado.
Dirigiendo nuestra atención de vuelta a $\mathcal O_{\textbf Q(\sqrt{69})}.$ Gracias a Minkowski, es suficiente para probar que $\langle 2 \rangle$ $\langle 3 \rangle$ pueden ser factorizados en los productos de los principales ideales. (Yo estaba teniendo algunos problemas de conectividad de ayer, así que pido disculpas yo no publicar una respuesta completa a los de ayer.)
De todos modos, el Minkowski obligado para $\mathcal O_{\textbf Q(\sqrt{69})}$ es aproximadamente el $4.1533119$, por lo que sólo tenemos que mirar a $\langle 2 \rangle, \langle 3 \rangle, \langle 4 \rangle$.
Desde $69 \equiv 5 \pmod 8$, entonces, por el Teorema de $10.2.1$ en Alaca & Williams Introductorio de la Teoría Algebraica de números, $\langle 2 \rangle$ es primo, y por lo tanto $\langle 4 \rangle = \langle 2 \rangle^2$.
Que sólo nos deja $\langle 3 \rangle$ a ocuparnos. Desde $69 = 3 \times 23$, es un ramificaciones ideal: $\langle 3 \rangle = \langle 3, \sqrt{69} \rangle^2$.
Sin embargo, desde $$\left(\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{69}}{2}\right) \left(\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{69}}{2}\right) = 3$$ and $$\left\langle \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{69}}{2} \right\rangle = \left\langle \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{69}}{2} \right\rangle$$ it follows that $$\langle 3 \rangle = \left\langle \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{69}}{2} \right\rangle^2.$$
Así, hemos comprobado que los principales ideales generados por los enteros positivos por debajo de la de Minkowski enlazado son ellos mismos el primer ideales, o las plazas de primer director ideales. Por lo tanto, $\mathcal O_{\textbf Q(\sqrt{69})}$ es un director ideal de dominio, y sus números de factorizar única, haciendo caso omiso de la multiplicación por unidades.
