La prueba de que la multiplicación de dos números más $2$ es un número primo

Question

Digamos que tenemos números primos impares $3,5,7,11,13, \dots $ en ascendente orden $(p_1,p_2,p_3,\dots)$. Demostrar que esta frase es verdadera o falsa:

Cada $i$, $$p_i p_{i+1}+2$ $

es un número primo.

¿Alguna idea cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Yo soy esencialmente resumiendo los comentarios - crédito a los usuarios anteriores.

Considerar el % de contraejemplo $11(13)+2=143+2=145=29(5).$podemos ver que son números primos consecutivos ascendente se multiplicó, y se agrega $2$. Si la afirmación es, el resultado debe ser primer. Pero admite factorización $145$ $5*29$, es como tal no ceba. Esta afirmación no es verdad como se indica.

Answer 2

Es falso.

Supongamos $p_i$ $p_{i + 1}$ forma de un doble del primer par, que es, $p_{i + 1} = p_i + 2$, como 3 y 5 o 107 y 109. No es un entero par $n$ entre ellos, de tal manera que $n = p_i + 1 = p_{i + 1} - 1$. A continuación,$p_i p_{i + 1} + 2 = (n - 1)(n + 1) + 2 = n^2 - 1 + 2 = n^2 + 1$.

Si $n \equiv 2 \pmod{10}$, $n^2 \equiv 4 \pmod{10}$ y, por tanto,$n^2 + 1 \equiv 5 \pmod{10}$, lo que significa que $n^2 + 1$ es una extraña múltiplo de 5. Lo único positivo impar, múltiplo de 5 que es el prime es el 5, pero 1 no es un número primo, por lo $1 \times 3 + 2$ es inútil aquí.

Esto significa que cualquier twin primer par tal que $p_i \equiv 1 \pmod{10}$ $p_{i + 1} \equiv 3 \pmod{10}$ es un contraejemplo (un ejemplo que refuta a) la afirmación, por ejemplo, 11 y 13, 101 y 103, 191 y 193, etc.; estos corresponden a 145, 10405, 36865, etc.

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Hay contraejemplos, además de los que acabo de describir. Porque los números primos delgada (sin desaparecer por completo, por supuesto), como $i$ se hace más grande se vuelve cada vez más improbable que $p_i p_{i + 1} + 2$ es primo.

Answer 3

Edificio de Robert Sopa de respuesta, pensando en la aritmética modular es una gran manera de llegar con contraejemplos.

El primer contraejemplo que encontré fue la $31, 37$ - la igualdad de $1$ (mod $3$), por lo que cuando se multiplican y agregar $2$, se obtiene un múltiplo de $3$. Soy lento mentales de multiplicación, así que buscando un par de números primos consecutivos que eran 1 o 2 (mod 3), fue más fácil para mí de tratar algunos pequeños ejemplos.

Del mismo modo, $p_i, p_{i+1}$ formar un contraejemplo si:

• $p_i=1$ (mod $5$), $p_{i+1}=3$ (mod $5$) - por ejemplo, $41$$43$.

• $p_i=4$ (mod $7$), $p_{i+1}=3$ (mod $7$) - por ejemplo, $53$ y $59$ ($57$ no es el primer! :P).

• Y así sucesivamente.