Teorema de la compacticidad, grafo dirigido

Question

Vamos a estudiar un lenguaje L y los axiomas de gráficos. Un grafo dirigido es conectado si hay por cada 2 puntos de un número finito de ruta.
Demostrar que aún hay teoría T que contiene los axiomas de un grafo dirigido, y tal que para cada grafo dirigido M preocupaciones: M es un modelo de T <=> M está conectado.

Empecé con la suposición de que existe una teoría. Así que he construido hasta T' = T U {axiomas para no grafo conexo}. Esta teoría es inconsistente, entonces, existe una finito subteoría que es también incompatible..
Pero ahora no sé cómo decirlo correcta.

Gracias de antemano Silke

Answer 1

$n\in\omega$ Que $[n]=\{0,\ldots,n\}$ y $C_n$ sea el gráfico dirigido con vértice set $[n]$y borde set $\{\langle k,\ell\rangle\in[n]\times[n]:|k-\ell|=1\}$; $C_n$ es una cadena de dos vías de longitud $n$. ¿Que $\mathscr{U}$ ser un ultrafiltro gratis en $\omega$ y que $$G=\left(\prod_{n\in\omega}C_n\right)/\mathscr{U}\;,$$ the ultraproduct of the graphs $ G_n $. Can you find two vertices of $G$ que no son conectados por cualquier camino finito? He dejado una respuesta, spoiler-protegidas, bajo; Mouse-over para verlo.

Que $u:\omega\to\omega:n \mapsto 0$ y $v:\omega\to\omega:n\mapsto n$; no hay ningún camino finito de $[u]_\mathscr{U}$ $[v]_\mathscr{U}$.

Answer 2

Parece que va a utilizar el teorema de compacidad. ¿Dadas $T$, puede agregar símbolos $a,b$ y axiomas afirmando "$a,b$ son vértices a una distancia > $n$" todos $n$?