Ayuda con problema de geometría

Question

Tengo el siguiente problema que ha sido molesto conmigo por edades, puedo llegar tan cerca de la respuesta. Voy a describir mi trabajo tan lejos.

Bien desde el outlook sabemos $|AB|=|OF|=1$$|AO|=p$$|OG|=q$. Ahora podemos mostrar por Pitágoras que $|OB|=\sqrt{p^2+1}$. También se $|FG|=q-1$ y desde $\Delta COF\sim\Delta HGF$ $AA$ regla tienen ese $|GH|=q-1$. Ahora por Pitágoras en $\Delta OGH$ obtenemos $|OH|=\sqrt{q^2+(q-1)^2}$. Ahora podemos crear el triángulo $\Delta BIH$ donde $I$ el vértice que es horizontal a $H$ vertical y $B$.

Lo siento por la horrible imagen de paint :). Y ahora cuando trato de usar Pitágoras en el triángulo yo, finalmente, acabar con $$(p+q)^2=pq(2q+2p-pq)$$ al parecer, Esto puede ser reducido a la respuesta correcta de acuerdo a Wolfram Alpha, pero me parece que no puede ver la forma de hacerlo. Siento que es algo muy obvio, pero no lo veo. Alguna idea?

Answer 1

$$\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{GH}{GO}\implies GH=\dfrac q p$$

$$\dfrac{GH}{GF}=\dfrac{OC}{OF}\implies q=p(q-1)\implies p+q=pq\implies p= \dfrac{q}{q-1} $$

$$BH=\sqrt{(AB+GH)^2+AG^2}=\sqrt{(1+\dfrac q p)^2+(p+q)^2}$$

$$=\sqrt{(1+{q-1})^2+(pq)^2}=\sqrt{q^2+(\dfrac{q^2}{q-1})^2}=...$$

Answer 2

También podría resolver tu ecuación $p+q$ utilizando la fórmula cuadrática:

$$ (p + q) ^ 2 = pq (2q + p 2 pq) \\ (p + q) ^ 2 = pq [pq-2(p+q)] \\ (p + q) ^ 2 - 2pq(p+q) - (pq) ^ 2 = 0$

Por lo tanto:

$$p+q = \frac{2pq\pm \sqrt{4(pq)^2- 4(pq)^2 } } {2} =pq$$