Probar que el producto de una función polinómica de las raíces de otro polinomio es un número entero.

Question

Me di cuenta de esto mientras que la solución de otro problema en este sitio.

Deje $P(x)$ ser un polinomio en $x$ con coeficientes enteros, y que las raíces de $P(x)=0$$r_1, r_2 \ldots ,r_n$, donde varios $r_i$ podría ser igual si hay raíces con multiplicidad mayor que uno. Vamos Q(x) otro polinomio en $x$, también con coeficientes enteros.

Demostrar que $$ \prod_i Q(r_i) \in \Bbb{Z} $$

Por ejemplo, si $P(x) = x^5+2x^2+1$$Q(x) = x^2-2$$\prod Q(r_i) = -7$.

Estoy bastante seguro de que es cierto, porque se puede expresar cada término en el producto de los polinomios en una forma como la
$$ \sum_{i<j<\ldots <n} r_i^{p_1} r_j^{p_2} \ldots $$ y tomarse la molestia de expresar dichas sumas como sumas de productos de las combinaciones de las raíces que coinciden con las expresiones determinado por el (entero) los coeficientes de $P(x)$. Pero hacer que constructiva prueba nada más que la mano saludando parece difícil.

Me pregunto si alguno de los ideales en la teoría de anillos, por ejemplo, puede hacer que esta proposición más fácil de probar.

NOTA Después

Un contraejemplo sería también muy bien resolver la cuestión, mostrando que la conjetura es falsa.

Answer 1

Estoy de acuerdo con el proyecto de Ley que simétricas polinomios de alguna manera debe ser el estándar de la solución, pero lo que quería señalar que la teoría de Galois hace de este sencillo.

Es fácil mostrar que $s = \prod_i Q(r_i)$ es un entero algebraico, por lo que es suficiente para mostrar que el $s\in\mathbb{Q}$. Por la correspondencia de Galois, este es el mismo como la comprobación de que $\sigma(s)=s$ por cada automorphism $\sigma$ de la división de campo de $\mathbb{Q}\subset K$$P(X)$.

Pero cualquier automorphism sólo permutes las raíces de $P$, y por lo tanto permutes los términos del producto $\prod_i Q(r_i)$.