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¿Cantor ' infinitos s implican una multitud de infinitesimales?

Cantor demostró que existen una multitud de infinitos. $\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots$ y así sucesivamente.

¿Hay una multitud de infinitesimales así? Mi idea sería que el "normal" infinitesimal, $\epsilon$, realmente sería $\epsilon_0$ en una jerarquía de infinitesimales como alephs de Cantor, por lo cual tendríamos $\epsilon_0,\epsilon_1,\epsilon_2, \ldots$ y así sucesivamente.

$x + \epsilon_0$ Allí sería un $\epsilon_1$ tal que $x < x + \epsilon_1 < x+ \epsilon_0$.

¿Tiene esto sentido?

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Tomas Dabasinskas Puntos 41

El OP me preguntó: "¿Cantor del infinitos implica una multitud de infinitesimals?" La pregunta es un poco ambigua porque no está claro lo que el término "Cantor del infinitos" se refiere exactamente. Así que voy a (1) definir lo que esto significa en la matemática moderna, (2) la mención de Cantor de la propia actitud, y (3) dar una respuesta afirmativa a la pregunta.

(1) En la matemática moderna es la costumbre de " interpretar "el Cantor del infinitos" en términos de un conjunto tradicional de la teoría de la axiomatisation llamado la Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. Este es usualmente tomado para incluir el Axioma de Elección. El resultado axiomatisation se denota ZFC.

(2) el Cantor de la propia actitud fue uno de virulenta hostilidad hacia infinitesimals, tal como señala su biógrafo José Dauben. No sólo él no piensa que "su infinitos" no implica infinitesimals, pero también estaba convencido de que infinitesimals se auto-contradictoria, y de hecho, se publicó un artículo en el que supuestamente "probar" este. Hoy todavía vivimos con la negativa generalizada de las actitudes hacia las modernas teorías de infinitesimals que podría decirse que se derivan de Cantor de la hostilidad que se divisa por no menos de un peso pesado de Bertrand Russell, que estaba tan confundida como Cantor en el tema.

(3) En el moderno axiomatisation, ZFC, de Cantorian infinitos se describe en el punto (1) anterior, es muy fácil construir adecuado adecuado extensiones del sistema numérico real que contienen infinitesimals y puede servir de base para el cálculo y análisis con cierto infinitesimals en el espíritu de Leibniz, Euler y Cauchy. Para un estudiante de primer año de nivel de introducción véase Elementales de Cálculo.

En más detalle, el hecho de que un número de sistema, generalmente se refiere a un hyperreal el sistema de numeración, es una escuela primaria de la extensión de los reales implica en particular que usted tiene toda una jerarquía de infinitesimals. Por ejemplo, si $\alpha$ es una "base" infinitesimal (Cauchy utilizado $\alpha$ por un infinitesimal), a continuación, el infinitesimal $\alpha^2$ será "infinitamente menor" en comparación con $\alpha$, y así sucesivamente: $\alpha^3, \ldots, \alpha^n, \ldots$

En la más avanzada hyperreal sistemas usted puede incluso tener una jerarquía de infinitesimals $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ donde $\beta$ es más pequeña que cualquier cosa construida $\alpha$, mientras que el $\gamma$ es más pequeña que cualquier cosa construida $\beta$, etc. Terry Tao ha señalado la utilidad de tales jerarquías y explotados en su propio trabajo.

4voto

PMar Puntos 61

El Cantor del desarrollo original de infinito de los números ordinales y cardinales NO implica la existencia de un conjunto correspondiente de infinitesimals. De hecho, el Cantor mismo fue enérgicamente se opuso a infinitesimals y repetidamente escribió en contra de aquellos que sugiere que su trabajo implicaba su legitimidad.

Como la sugerencia de que el Cantor del ordinales están incrustados en Conway surrealista números, que tiene que ser tomado con un grano bastante grande de sal. Es un teorema de la surrealista números que surrealista de la adición y la multiplicación son siempre conmutativa, incluso infinito surreals; esto es, decididamente, NO es cierto de Cantor de los números ordinales. Además, en el Cantor del ordinales $\omega$ es el más pequeño posible ordinal infinito, mientras que para el correspondiente surrealista ordinal $\omega$ hay pequeños infinito de los números ordinales $\omega$-1, $\omega$/2, sqrt($\omega$), etc.

1voto

Mitchell Spector Puntos 371

Sí, esta cosa precisa pasa con números surreales de Conway; Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number.

Alephs de cantor (de hecho, todos los ordinales) se encajan en la surreals, y la operación recíproca está disponible. El recíproco de un número infinito de surrealista es un infinitesimal surrealista número, como era de esperar.

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