Diferencia entre modificación e indistinguibles

Question

Alguien será capaz de ofrecer un laico de explicación de lo que significa cuando dos procesos estocásticos son una Modificación de uno a otro y cuando son Indistinguibles?

Mi Análisis Estocástico notas definir los siguientes:

a) $\textit{The stochastic processes X and Y are called a modification of each other if}$ \begin{align} P(X(t) = Y(t)) = 1 \quad \textit{for all t %#%#% I} \end{align} b) $\in$ \begin{align} P(X(t) = Y(t) \,\,\,\textit{for all %#%#%}) = 1 \end{align}

Puedo interpretar esto significa que:

(a) para cada una de las $\textit{The stochastic processes X and Y are called indistinguishable}$ $t \in I$ la probabilidad de que los procesos son iguales es igual a 1.

(b) la probabilidad de que la ruta de acceso completa de los procesos de X es igual a la ruta de acceso completa del proceso Y, es igual a 1.

No entiendo la diferencia entre las dos declaraciones. La primera parece a examinar los procesos en cada punto. La segunda examina las rutas de los procesos (que se compone de los puntos!).

Es alguien capaz de proporcionar una explicación de la motivación de por qué (a) no significa que las rutas de acceso son los mismos? Me parece contra intuitivo ya que si los procesos son iguales en cada punto, a continuación, seguramente sus caminos son el mismo?

El clásico ejemplo que me han dado que (aparentemente) muestra los dos procesos a ser una modificación y no indistinguible es:

$t$ Deje $I$ $\textbf{Example:}$ ser una medida de probabilidad en $\Omega = [0,\infty), \mathcal{A} = \mathcal{B}([0,\infty))$ que tiene una densidad. Definir dos procesos estocásticos $P$ $\mathcal{A}$ por \begin{align} X(t)(\omega) = \begin{cases} 1, \text{ if %#%#%},\\ 0, \text{ otherwise} \end{casos} \quad Y(t)(\omega) = 0 \quad \text{para todos los $(X(t): t \ge 0)$ y todos los $(Y(t): t \ge 0)$.} \end{align} A continuación, $t = \omega$ $t \ge 0$ son modificaciones de la otra, sino $\omega \in \Omega$ $X$ no son indistinguibles.

$Y$ Con respecto al ejemplo anterior, si $X$ $Y$ $\textbf{Question:}$ pero $t = 0$, entonces ¿cómo puede su probabilidad de ser igual a 1 en este punto? Por lo tanto, ¿cómo pueden ser una modificación de cada uno de los otros?

Muchas gracias,

Juan

Answer 1

Para mantener la coherencia de la terminología, permítanme decir que el $X_t$ $Y_t$ $M$- equivalente, si uno es una modificación de la otra, e $D$-equivalente si son indistinguibles uno de otro. (Este no es un estándar de la terminología, pero me parece que la diferencia en la sintaxis entre los dos términos que la hace un poco difícil de escribir.)

He aquí una forma de mirar se basa en el muestreo.

Supongamos $X_t,Y_t$ $M$- equivalente. Ahora elija $t_1 \in I$ arbitrariamente. Ejecutar repetidamente $X_t$ $Y_t$ "de forma independiente", pero sólo les muestra en tiempo $t_1$. A continuación, como se muestra más y más veces, la fracción de las muestras que $X_{t_1}=Y_{t_1}$ convergerán a $1$, independientemente de la $t_1$ eligió.

Supongamos ahora que se $D$-equivalente. Ejecutar repetidamente $X_t$ $Y_t$ nuevo, pero esta vez grabar la totalidad de la trayectoria. A continuación, como se muestra más y más veces, la fracción de las muestras que $X_t$ $Y_t$ son iguales en cada momento van a converger a $1$.

Por lo $D$-equivalencia implica automáticamente el $M$equivalencia, ya que casi todas las muestras han de igualdad en cada momento y por lo tanto en cualquier momento en particular.

Al $I$ es contable, $M$-equivalencia implica también la $D$equivalencia, debido a que el evento "$X_t=Y_t$ por cada $t \in I$" es la intersección de los eventos "$X_{t_k}=Y_{t_k}$"$t_k \in I$, y cada uno de estos tiene probabilidad de $1$.

Pero cuando $I$ es incontable (como en los problemas en tiempo continuo), podemos tener la $M$-equivalencia, pero no $D$-equivalencia. Para ver esto, supongamos $X_t,Y_t$ $M$- equivalente y deje $N(t)$ ser el caso de que $X_t \neq Y_t$. A continuación, $N(t)$ tiene probabilidad cero. (Si te gusta, este es simplemente decir que $\int_t^t dx = 0$.) Entonces estamos en la $N=\bigcup_{t \in I} N(t)$ si hay algunos $t$ tal que $X_t \neq Y_t$. Ahora $N$ es un incontable de la unión de los conjuntos de probabilidad cero. Por lo que podría tener probabilidad positiva, o incluso que no pueda ser medible.

Imaginemos muestreo en el ejemplo de Oksendal. Escoge un $t_1 \in [0,1]$, ahora el tiempo aleatorio se $t_1$ sólo con probabilidad cero. De modo que la fracción de las muestras con $X_{t_1} \neq Y_{t_1}$ se hacen más pequeños a medida que hacemos más y más muestras. Pero si nos fijamos en la trayectoria lugar, a continuación, en algún momento aleatorio siempre tendremos $X_t \neq Y_t$, en cada muestra. Nunca volveremos a ver exactamente la misma trayectoria de ambos.

Answer 2

Echemos un vistazo más de cerca el ejemplo dado:

Fix $t \geq 0$. Por definición, $$X(t)(\omega) = 0 = Y(t)(\omega)$$ for all $\omega \neq t$. En consecuencia,

$$\{\omega; X(t)(\omega) \neq Y(t)(\omega)\} \subseteq \{t\}.$$

Como $X(t)(t) = 1 \neq 0 = Y(t)(t)$, obtenemos

$$\{\omega; X(t)(\omega) \neq Y(t)(\omega)\} = \{t\}.$$

Desde $P$ es una medida de probabilidad con la densidad, esta muestra

$$\mathbb{P}(X(t) \neq Y(t)) = \mathbb{P}(\{t\})=0,$$

es decir, $(X_t)_{t \geq 0}$ es una modificación de $(Y_t)_{t \geq 0}$.

Queda por demostrar que $(Y_t)_{t \geq 0}$ $(X_t)_{t \geq 0}$ no son indistinguibles. Para este fin, fix $\omega \in \Omega$ y la nota que

$$X(\omega)(\omega) =1 \neq 0= Y(\omega)(\omega),$$

es decir, para cada una de las $\omega \in \Omega$ existe $t \in I$ tal que $$X(t)(\omega) \neq Y(t)(\omega).$$, en consecuencia,

$$\mathbb{P}(X(t) = Y(t) \quad \text{for all} \, t \in I) = 1-\mathbb{P}(\exists t \in I: X(t) \neq Y(t)) = 1-1 = 0.$$

Answer 3

Por desgracia yo no entender a las otras respuestas dadas hasta el momento a esta pregunta.

Después de buscar he encontrado que el ejemplo que he publicado parece venir de Oksendal - Ecuaciones Diferenciales Estocásticas - p18 - q2.9.

Buscar más encontrar estas soluciones para Oksendal: https://www.quantnet.com/threads/is-there-solution-to-sde-by-%C3%98ksendal.8066/

La solución dada no para el problema de ejemplo es:

$\textbf{Solution:}$

Con \begin{align} X_t(\omega) = \begin{cases}1 \text{ if %#%#%}\\0 \text{ otherwise} \end{casos} \end{align} y $t=\omega$ todos los $Y_t(\omega) = 0$ hemos \begin{align} P[X_t = Y_t] = P[X_t = 0] = P(\{\omega; \omega \ne t\}) = 1. \end{align} Por lo tanto $(t,\omega) \in [0,\infty) \times [0,\infty)$ es una versión de $X_t$.

Lamentablemente todavía no entienda el porqué $Y_t$ - y lo más importante, mi pregunta original de la obtención de un laico explicación de lo que es la "modificación" o "indistinguibles" significa realmente que sigue sin respuesta.

Si hay cualquier profesor o personal académico a quienes han tenido la experiencia de explicar conceptos difíciles, a continuación, realmente agradecería cualquier aporte que podría ofrecer.

Muchas gracias,

Juan