Cerrado subschemes de espacio proyectivo

Question

Podemos trabajar a través de los números complejos.

Si $X$ es una integral cerrada subscheme de $\mathbb P^n$, entonces existe un ideal homogéneo $I$ $A=\mathbb C[x_0,\ldots,x_n]$ tal que $X = V_+(I) =$ Proj$(A/I)$.

Mi pregunta es acerca de cómo diferentes ideales puede definir el mismo esquema, hasta el isomorfismo.

1) Supongamos que $I$ $J$ son homogéneos ideales de $A$ tal que $V_+(I)$ $V_+(J)$ son isomorfos como cerrado subschemes de espacio proyectivo. Es $I=J$?

2) Supongamos ahora que el $V_+(I)$ $V_+(J)$ son isomorfos como variedades, pero no necesariamente como cerrado subschemes. ¿Cómo se $I$ $J$ relacionados?

Answer 1

La respuesta a 1) es NO:
Por ejemplo, todos los hyperplanes $V_+(<l>)\subset \mathbb P^n$ donde $l=\sum a_ix_i$ es un no-cero de forma lineal son isomorfos, mientras que los ideales $<l>$ son diferentes.

Y no estoy seguro de que hay una razonable respuesta a 2) puesto que (por ejemplo) el subschemes $V_+(I)$ $V_+(J)$ podría ser isomorfo y ni siquiera tienen el mismo grado:
Por ejemplo, cualquier liso cónica en $\mathbb P^2$, decir $V_+(x_0^2+x_1^2+x_2^2)$, es de grado $2$ e es isomorfo a cualquier línea, decir $V_+(x_0)$, que es de grado $1$.
Sin embargo veo que no hay una clara relación entre los ideales $<x_0^2+x_1^2+x_2^2>$$<x_0>$ .