Decide si la serie converge y demuéstralo mediante la prueba de comparación: $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k+3}$

Question

Decide si la serie converge y demuéstralo mediante la prueba de comparación: $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k+3}$

$$\frac{1}{2k+3} <\frac{1}{2k}<\frac{1}{k}$$

y como $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ diverge (lo hemos definido en nuestras lecturas, así que puedo afirmarlo aquí), la serie completa divergirá también.

¿He hecho todo correctamente? Lo que me hace sentir un poco inseguro es que no hay " $\leq$ " en ninguna parte y cuando busco la prueba de comparación en Internet, no veo ningún "<" o ">" en la definición.

¿Es correcto de todos modos?

Answer 1

Tienes que acotar la serie desde abajo si quieres demostrar que es divergente. Por ejemplo, $$ \sum_{k=1}^\infty\frac1{2k+3}>\sum_{k=1}^\infty\frac1{3k+3}=\frac13\sum_{k=1}^\infty\frac1{k+1}=\frac13\sum_{k=2}^\infty\frac1k=\infty. $$

Answer 2

También podemos decir que $$\frac{1}{2k+3}>\frac{1}{3k}$$