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morfismos de un anillo local de un esquema para el plan

Deje XX ser un esquema, y xX.xX. Deje U=Spec(A)U=Spec(A) libre afín subconjunto que contiene x,x, luego tenemos a los naturales de morfismos OX(U)OX,xOX(U)OX,x la inducción de una de morfismos SpecOX,xUSpecOX,xU y por lo componen con el abierto de inmersión UXUX obtenemos un morfismos f:SpecOX,xX.f:SpecOX,xX.

  1. ¿Por qué esta definición no depende de la elección de U?U? y

  2. ¿Cuál es la imagen de f?f?

Lo siento si son preguntas tontas!

11voto

Nir Puntos 136

Permítanme añadir a Amitesh absolutamente respuesta correcta de algunas palabras que describen la imagen Idef=Im(f)Idef=Im(f) de la canónica de morfismos f:Spec(OX,x)Xf:Spec(OX,x)X .

a) El conjunto de II es exactamente la intersección de todos los neighbourhoodz de xxXX: es una especie de microgerm de XXxx.
Ten en cuenta que II es no un subscheme de XX ya que no es cerrado.

b) Más geométricamente (y por lo tanto más interesante!) considerar la irreductible subvariedad V=¯{x}XV=¯¯¯¯¯¯¯¯¯{x}X cuyo punto genérico es xx.
Deje YXYX ser un cerrado irreducible subscheme en que VV encuentra: VYVY y deje ηYηY ser el genérico punto de YY.
A continuación, nuestro subconjunto II es exactamente el conjunto de todos los genéricos, puntos de ηYηY. Decimos que II es el conjunto de generizations de xx.

c) Dos ejemplos:
1) Si XX es una irreductible esquema genérico punto de ηη, x=ηx=η tenemos I={η}I={η}.
2) Si X=A2C=Spec(C[x,y]) x=(a,b) (más exactamente x es el ideal maximal m=(xa,xb)), I es el conjunto que consta en x, el genérico punto de A2C y la genérica de puntos de todas irreductible curvas pasando por x, como por ejemplo la curva de (yb)2(xa)3=0.

8voto

Amitesh Datta Puntos 14087

(1) Vamos a U V ser abierto afín subconjuntos del esquema de X tal que xUV. Elegir un abrir afín subconjunto xWUV. Demostrar que las composiciones Spec(OX,x)WUUV Spec(OX,x)WVUV es igual a la composición de la Spec(OX,x)WUVUV. (Sugerencia: recuerde que U,V,W son afín a abrir los subconjuntos de a X y comprender afín a sistemas de álgebra conmutativa!)

(2) Si A es un anillo conmutativo y si p es un alojamiento ideal, entonces el espectro de la localización homomorphism AAp es el mapa Spec(Ap)Spec(A). La imagen de este mapa es igual al conjunto de todos los primos ideales de A p (demostrar este hecho de álgebra conmutativa, si no es obvio).

3voto

Tom Oldfield Puntos 7330

He aquí un punto de vista que combina aspectos tanto de la corriente (buena) de las respuestas, pero hace las cosas más explícito.

Tome U un afín a abrir la pieza de X contiene x, USpec(A), con x correspondiente a P<A. A continuación, el mapa de localización ϕ:AAP induce una de morfismos Spec(OX,x)Spec(A)X. La imagen de este morfismos es el conjunto de números primos en A que son los mismos que figuran en P. (Usando las propiedades de la localización de los anillos de morfismos entre afín esquemas.) Esto es igual a la intersección de cada subconjunto abierto de Spec(A) contiene P, como es fácil de comprobar a través de distinguidos afín a abrir los subconjuntos de U, D(f) para fAP.

Ahora supongamos fA/P. A continuación, la imagen de ϕ se encuentra dentro de la distinguida abrir afín a la pieza de la D(f). Equivalentemente, ϕ factores a través de Af, es decir,ϕf:AfAP, de tal forma que si if:AAf es el mapa de localización, ϕ=ϕfif. Esto significa que los morfismos Spec(OX,x)Spec(Af)X inducida por tomar afín a abrir la pieza de la USpec(Af) X es igual a la de morfismos inducida por U. (Aquí estamos implícitamente el uso que para un manipulatively cerrado subconjunto S de un anillo de R, P un primer no encuentro S, (S1R)S1P es naturalmente isomorfo a RP.)

Por lo tanto si VSpec(B) es otro abierto afín a la pieza de X contiene x, luego de tomar abrir WUV a un distinguido abrir afín trozo de ambos U V (es decir, aA,bB tal que WD(a)WD(b)), los morfismos Spec(OX,x)X inducida por A es igual a la de morfismos inducida por Aa en el párrafo anterior, que es igual a la de morfismos inducida por Bb a partir de la construcción de la W, que es entonces igual a la de morfismos inducida por B usando el párrafo anterior de nuevo.

Así hemos demostrado que los morfismos es independiente de la opción de abrir afín a la pieza. Dado esto, la imagen es visto inmediatamente a la intersección de cada conjunto abierto acerca de x, y (curiosamente) este punto de vista es completamente independiente de la elección de los afín a la pieza.

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