morfismos de un anillo local de un esquema para el plan

Question

Deje $X$ ser un esquema, y $x \in X.$ Deje $U=\text{Spec}(A)$ libre afín subconjunto que contiene $x,$ luego tenemos a los naturales de morfismos $\mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_{X,x}$ la inducción de una de morfismos $ \text{Spec} \;\mathcal{O}_{X,x} \to U$ y por lo componen con el abierto de inmersión $U \hookrightarrow X$ obtenemos un morfismos $f: \text{Spec} \;\mathcal{O}_{X,x} \to X.$

1. ¿Por qué esta definición no depende de la elección de $U?$ y

2. ¿Cuál es la imagen de $f?$

Lo siento si son preguntas tontas!

Answer 1

Permítanme añadir a Amitesh absolutamente respuesta correcta de algunas palabras que describen la imagen $I\stackrel {\text {def}}{=}Im(f)$ de la canónica de morfismos $f:\text{Spec} (\mathcal O_{X,x}) \to X$ .

a) El conjunto de $I$ es exactamente la intersección de todos los neighbourhoodz de $x$$X$: es una especie de microgerm de $X$$x$.
Ten en cuenta que $I$ es no un subscheme de $X$ ya que no es cerrado.

b) Más geométricamente (y por lo tanto más interesante!) considerar la irreductible subvariedad $V=\overline {\lbrace x\rbrace}\subset X$ cuyo punto genérico es $x$.
Deje $Y\subset X$ ser un cerrado irreducible subscheme en que $V$ encuentra: $V\subset Y$ y deje $\eta_Y$ ser el genérico punto de $Y$.
A continuación, nuestro subconjunto $I$ es exactamente el conjunto de todos los genéricos, puntos de $\eta_Y$. Decimos que $I$ es el conjunto de generizations de $x$.

c) Dos ejemplos:
1) Si $X$ es una irreductible esquema genérico punto de $\eta$, $x=\eta$ tenemos $I={\lbrace \eta\rbrace}$.
2) Si $X=\mathbb A^2_\mathbb C=\text {Spec}(\mathbb C[x,y])$ $x=(a,b)$ (más exactamente $x$ es el ideal maximal $\mathfrak m= (x-a,x-b)$), $I$ es el conjunto que consta en $x$, el genérico punto de $\mathbb A^2_\mathbb C$ y la genérica de puntos de todas irreductible curvas pasando por $x$, como por ejemplo la curva de $(y-b)^2-(x-a)^3=0$.

Answer 2

(1) Vamos a $U$ $V$ ser abierto afín subconjuntos del esquema de $X$ tal que $x\in U\cap V$. Elegir un abrir afín subconjunto $x\in W\subseteq U\cap V$. Demostrar que las composiciones $\text{Spec}(O_{X,x})\to W\to U\to U\cup V$ $\text{Spec}(O_{X,x})\to W\to V\to U\cup V$ es igual a la composición de la $\text{Spec}(O_{X,x})\to W\to U\cap V\to U\cup V$. (Sugerencia: recuerde que $U,V,W$ son afín a abrir los subconjuntos de a $X$ y comprender afín a sistemas de álgebra conmutativa!)

(2) Si $A$ es un anillo conmutativo y si $p$ es un alojamiento ideal, entonces el espectro de la localización homomorphism $A\to A_{p}$ es el mapa $\text{Spec}(A_p)\to \text{Spec}(A)$. La imagen de este mapa es igual al conjunto de todos los primos ideales de $A$ $p$ (demostrar este hecho de álgebra conmutativa, si no es obvio).

Answer 3

He aquí un punto de vista que combina aspectos tanto de la corriente (buena) de las respuestas, pero hace las cosas más explícito.

Tome $U$ un afín a abrir la pieza de $X$ contiene $x$, $U \cong \operatorname{Spec}(A)$, con $x$ correspondiente a $P < A$. A continuación, el mapa de localización $\phi:A\rightarrow A_P$ induce una de morfismos $\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{X,x})\rightarrow \operatorname{Spec}(A)\rightarrow X$. La imagen de este morfismos es el conjunto de números primos en $A$ que son los mismos que figuran en $P$. (Usando las propiedades de la localización de los anillos de morfismos entre afín esquemas.) Esto es igual a la intersección de cada subconjunto abierto de $\operatorname{Spec}(A)$ contiene $P$, como es fácil de comprobar a través de distinguidos afín a abrir los subconjuntos de $U$, $D(f)$ para $f \in A\setminus P$.

Ahora supongamos $f \in A/ P$. A continuación, la imagen de $\phi$ se encuentra dentro de la distinguida abrir afín a la pieza de la $D(f)$. Equivalentemente, $\phi$ factores a través de $A_f$, es decir,$\phi_f:A_f\rightarrow A_P$, de tal forma que si $i_f:A\rightarrow A_f$ es el mapa de localización, $\phi = \phi_f\circ i_f$. Esto significa que los morfismos $\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{X,x})\rightarrow\operatorname{Spec}(A_f)\rightarrow X$ inducida por tomar afín a abrir la pieza de la $U' \cong \operatorname{Spec}(A_f)$ $X$ es igual a la de morfismos inducida por $U$. (Aquí estamos implícitamente el uso que para un manipulatively cerrado subconjunto $S$ de un anillo de $R$, $P$ un primer no encuentro $S$, $(S^{-1}R)_{S^{-1}P}$ es naturalmente isomorfo a $R_P$.)

Por lo tanto si $V \cong \operatorname{Spec}(B)$ es otro abierto afín a la pieza de $X$ contiene $x$, luego de tomar abrir $W \subset U\cap V$ a un distinguido abrir afín trozo de ambos $U$ $V$ (es decir, $a \in A, b \in B$ tal que $W \cong D(a)$$W \cong D(b)$), los morfismos $\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{X,x})\rightarrow X$ inducida por $A$ es igual a la de morfismos inducida por $A_a$ en el párrafo anterior, que es igual a la de morfismos inducida por $B_b$ a partir de la construcción de la $W$, que es entonces igual a la de morfismos inducida por $B$ usando el párrafo anterior de nuevo.

Así hemos demostrado que los morfismos es independiente de la opción de abrir afín a la pieza. Dado esto, la imagen es visto inmediatamente a la intersección de cada conjunto abierto acerca de $x$, y (curiosamente) este punto de vista es completamente independiente de la elección de los afín a la pieza.