He aquí un punto de vista que combina aspectos tanto de la corriente (buena) de las respuestas, pero hace las cosas más explícito.
Tome U un afín a abrir la pieza de X contiene x, U≅Spec(A), con x correspondiente a P<A. A continuación, el mapa de localización ϕ:A→AP induce una de morfismos Spec(OX,x)→Spec(A)→X. La imagen de este morfismos es el conjunto de números primos en A que son los mismos que figuran en P. (Usando las propiedades de la localización de los anillos de morfismos entre afín esquemas.) Esto es igual a la intersección de cada subconjunto abierto de Spec(A) contiene P, como es fácil de comprobar a través de distinguidos afín a abrir los subconjuntos de U, D(f) para f∈A∖P.
Ahora supongamos f∈A/P. A continuación, la imagen de ϕ se encuentra dentro de la distinguida abrir afín a la pieza de la D(f). Equivalentemente, ϕ factores a través de Af, es decir,ϕf:Af→AP, de tal forma que si if:A→Af es el mapa de localización, ϕ=ϕf∘if. Esto significa que los morfismos Spec(OX,x)→Spec(Af)→X inducida por tomar afín a abrir la pieza de la U′≅Spec(Af) X es igual a la de morfismos inducida por U. (Aquí estamos implícitamente el uso que para un manipulatively cerrado subconjunto S de un anillo de R, P un primer no encuentro S, (S−1R)S−1P es naturalmente isomorfo a RP.)
Por lo tanto si V≅Spec(B) es otro abierto afín a la pieza de X contiene x, luego de tomar abrir W⊂U∩V a un distinguido abrir afín trozo de ambos U V (es decir, a∈A,b∈B tal que W≅D(a)W≅D(b)), los morfismos Spec(OX,x)→X inducida por A es igual a la de morfismos inducida por Aa en el párrafo anterior, que es igual a la de morfismos inducida por Bb a partir de la construcción de la W, que es entonces igual a la de morfismos inducida por B usando el párrafo anterior de nuevo.
Así hemos demostrado que los morfismos es independiente de la opción de abrir afín a la pieza. Dado esto, la imagen es visto inmediatamente a la intersección de cada conjunto abierto acerca de x, y (curiosamente) este punto de vista es completamente independiente de la elección de los afín a la pieza.