¿Por qué son los complejos de la cadena sólo se construye en categorías de aditivos?

Question

Mirando el nCatLab de la página en los complejos de la cadena, se asume de forma implícita en el inicio de la página que se está trabajando en una categoría de aditivo. Sin embargo, la única estructura que se requiere para definir los complejos de la cadena es que uno esté trabajando en la punta de su categoría, por lo que la noción de un cero de morfismos tiene sentido. Sin embargo, no he sido capaz de encontrar en cualquiera de los documentos que considere la posibilidad de los complejos de la cadena incluso en categorías tales como preadditive o suma parcial categorías, mucho menos arbitraria, señaló categorías.

Entiendo que muchos de los resultados de álgebra homológica se basan en un Abelian estructura de trabajo. Es simplemente el caso de que no categorías de aditivos no tiene suficiente estructura para ofrecer resultados interesantes acerca de estos complejos? O es que hay un tema concreto que impide que los complejos de la cadena de hacer sentido más general señaló categorías? Hacer estos problemas aún surgir incluso cuando se trabaja en preadditive suma parcial o categorías?

Answer 1

Usted puede escribir definiciones largo de todo el día, pero al final del día, estas definiciones deben hacer algo por usted o por otra persona que no había punto en la escritura. El punto de los complejos de la cadena es hacer álgebra homológica, y hacer álgebra homológica necesita corto exacta secuencias, kernels, cokernels, etc. Nuestro honor antepasados trabajado hace tiempo que la abelian categorías fueron muy cómodo ajuste con prácticamente todo lo necesario para hacer de álgebra homológica, por lo que normalmente se donde lo hacemos.

(Y sí, es cierto que se puede definir núcleos y cokernels en una categoría con cero morfismos, sin exigir también que ser aditivos. Pero núcleos y cokernels no tienen las propiedades que usted esperaría de ellos a menos que usted está en una categoría de aditivo o menos; por ejemplo, no es cierto en general que si un morfismos tiene cero kernel, entonces es un monomorphism.)

Álgebra homológica a su vez es sólo la "lineal" de la versión de homotopical álgebra. Aquí, en lugar de los complejos de la cadena utilizamos simplicial objetos, que pueden ser considerados como "no lineal" generalizaciones de los complejos de la cadena. El teorema que hace que esta idea precisa es la Dold-Kan teorema, el cual también requiere más que cero morfismos a trabajar. Incluso si usted puede escribir, decir, una definición de la cadena de complejos de punta fija, que no es lo que usted necesita para hacer realidad "el álgebra homológica" con la punta de los conjuntos.