Si quiero demostrar que un punto $O$ es el centro de un círculo. ¿es suficiente decir que si $A,B,C$ son puntos del círculo y $AO=BO=CO$ así que punto $O$ es el centro por: A través de tres puntos cualesquiera, no todos en la misma línea, hay un círculo único.
O la última frase no es suficiente para decir que $O$ es el centro y necesito algo más para conectar entre ellos y probarlo?
Si he entendido bien la pregunta, la respuesta es sí: una circunferencia está determinada de forma única por tres puntos no colineales $\,A,B,C\,$ y una cuarta, diferente $\;O\;$ que está a la misma distancia de cada uno de los tres primeros.
La prueba es fácil: formar el triángulo $\;\Delta ABC\;$ , entonces el círculo $\,O\;$ es la circunferencia de este triángulo... Si no estás seguro de esto puedes intentar dibujar la bisectriz de dos pares cualesquiera de estos tres puntos, digamos de $\;AB\,,\,BC\;$ . Como cualquier punto de la perp. bisectriz de $\;AB\;$ está a la misma distancia de $\,A\,$ y de $\,B\,$ y cada punto en el p.b. de $\,BC\;$ está a la misma distancia de $\,B\,$ y de $\,C\,$ La intersección de estos dos p.b. (por qué se tienen para intersecar?!) es precisamente $\,O\,$ ...
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