Suma de distribuciones normales plegadas independientes

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias independientes, normalmente distribuidas.

¿Cómo es $|X| + |Y|$ ¿Distribuido?

¿Se sabe que es $|Z|$ , donde $Z$ ¿se distribuye normalmente?

Answer 1

Para $\alpha > 0$ , $$F_{|X|+|Y|}(\alpha) = P\{|X|+|Y|\leq \alpha\} = P\{(X,Y) \in A\}$$ donde $A$ es una región cuadrada con vértices $(\alpha,0), (0,\alpha), (-\alpha, 0), (0,-\alpha)$ .

• Supongamos que $X$ y $Y$ tienen $0$ media e idéntica varianza $\sigma^2$ . Entonces, ya que la densidad conjunta de $X$ y $Y$ tiene simetría circular, podemos girar el cuadrado alrededor del origen de manera que los lados sean paralelos a los ejes y a la distancia $\alpha/\sqrt{2}$ de ellos. En consecuencia, $$F_{|X|+|Y|}(\alpha) = P\{(X,Y) \in A\} = \left[\Phi\left(\frac{\alpha}{\sqrt{2}\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-\alpha}{\sqrt{2}\sigma}\right)\right]^2 = \left[2\Phi\left(\frac{\alpha}{\sqrt{2}\sigma}\right) - 1\right]^2.$$ ¿Se puede obtener la densidad de $Z$ de esto? (Pista: piensa en la regla de la cadena regla de diferenciación del cálculo básico, y recuerda que conoces la derivada de $\Phi(x)$ ) Tenga en cuenta que $Z$ es no el valor absoluto de una variable aleatoria normal.

• Más generalmente, para variables aleatorias independientes arbitrarias, tenemos que $$F_{|X|+|Y|}(\alpha) = P\{(X,Y) \in A\} = \int_{-\alpha}^0\int_{-\alpha-x}^{\alpha+x}f_X(x)f_Y(y)\mathrm dy \mathrm dx + \int_0^{\alpha}\int_{x-\alpha}^{-x+\alpha}f_X(x)f_Y(y)\mathrm dy\mathrm dx.$$ En lugar de calcular las integrales y luego diferenciar con respecto a $\alpha$ para encontrar la densidad de $|X|+|Y|$ se pueden diferenciar directamente las integrales con respecto a $\alpha$ . Si no recuerdas los detalles de cómo hacerlo vea el comentario siguiente esta respuesta y recuerde que cuando está diferenciando la integral exterior (la que tiene que ver con respecto a $x$ ), el integrando (es decir, el valor de la integral interna) es también una función de $\alpha$ .