¿Qué significa 'preservar la primera forma fundamental'?

Question

Estoy un poco confundido acerca de la frase 'preservar la primera forma fundamental', o 'La curvatura gaussiana está determinada por la primera forma fundamental'.

Por ejemplo, digamos que tengo dos superficies $M$ y $M'$. ¿Cómo es posible que tengan 'la misma forma fundamental' cuando:

1. La primera forma fundamental es un concepto definido en relación con alguna parametrización
2. Los dominios de las diversas formas fundamentales ni siquiera coincidirán: $T_pM\times T_pM$ vs $T_{p'}M'\times T_{p'}M'$.

Simplemente no veo cómo interpretar la frase 'tener la misma forma fundamental' o que algo esté 'determinado por la forma fundamental' dado que es una noción tan 'relativamente definida'.

Cualquier ayuda para aclarar esto sería muy apreciada. Gracias

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Aquí hay un ejemplo concreto de algo que me confunde:

Esta fuente define la primera forma fundamental de la siguiente manera:

$$I_P(U,V)=U\cdot V,\text{ para } U,V\in T_PM\ \ (\subset \mathbb{R}^3)$$

De esta definición está claro que es independiente de la parametrización, ya que está completamente en términos del producto interno en $\mathbb{R}^3$. Sin embargo, la confusión comienza cuando luego dan la siguiente definición (Estas son notas de Theodore Shifrin):

Supongamos que $M$ y $M^*$ son superficies. Decimos que son localmente isométricas si para cada $P\in M$ hay un reg-param $x:U\to M$ con $x(u_0,v_0)=P$ y $x^*:U\to M^*$, con la propiedad de que $I_P=I_{P^*}^*$, siempre que $P=x(u,v)$ y $P^*=x^*(u,v)$. Es decir, la función $f=x^*\circ x^{-1}$ es una correspondencia biunívoca que preserva la primera forma fundamental.

Entonces simplemente no veo cómo esta definición de superficies localmente isométricas está incluso bien definida cuando se trabaja con la definición anterior de la primera forma fundamental. ¿Qué significa posiblemente que $I_P=I_{P^*}^*$? Por lo general, para una igualdad de funciones necesitan al menos tener los mismos dominios, pero no es el caso aquí.

Lo único que puedo imaginar es que $f$ induce a través de su derivada un mapa $T_PM\to T_{f(P)}M^*$, y así decimos que $$I_P=I_{P^*}^* \text{ si } I_P(x,y)=I_{P^*}^*(f'(x),f'(y))$$

Y así que en general, para que un mapa $f$ preserve la primera forma fundamental, esta última definición es lo que significa. Al menos esto es independiente de la parametrización, así que eso es bueno.

Answer 1

La primera forma fundamental es el nombre tradicional de la métrica Riemanniana en una variedad Riemanniana de dimensión dos, es decir, el producto escalar en el haz tangente. Esto es independiente de un sistema de coordenadas pero puede expresarse (y generalmente se define) utilizando un sistema de coordenadas. Un mapa que conserva la primera forma fundamental es simplemente una isometría (local) de las variedades Riemannianas.

Answer 2

Este tipo de pregunta es muy común en geometría diferencial. Uno se pregunta si el plano tangente en un punto P de una superficie M depende de la parametrización en ese punto. Tales argumentos son generalmente tratados con la introducción de una función llamada cambio de parámetros o cambio de coordenadas.

Puedes consultar la sección 2.3 de Curvas y Superficies, por Sebastian Montiel y Antonio Ros para una discusión sobre el cambio de parámetros. Hay un resultado en esa sección que demuestra que cualquier cambio de parámetros es un difeomorfismo. Teniendo este resultado, podemos ver que las estructuras no cambian independientemente de la parametrización con la que elijamos trabajar.