Qué $\exists n \in \mathbb{Z}$ tal que $2^n$ puede comenzar con $9786543120$?

Question

He intentado $2^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$ pero no pudo llegar más lejos. Gracias.

Answer 1

Sugerencia: $\log_{10} 2$ es irracional

Usted puede usar esto para probar que existe una $m$ $n$ tal que

$$9786543120\cdot 10^n < 2^m < 9786543121 \cdot 10^n$$

tomar el registro de la base de $10$ de todo. Se puede mostrar que hay alguna $m$ $n$ tal que $$\log_{10} 9786543120 + n < m\log_{10} 2 < \log_{10}9786543121+n$$

Answer 2

Sí.

Queremos $2^n$ para situarse entre $9786543120 \times 10^x$$9786543121 \times 10^x$. Tomando logaritmos, esto es equivalente a encontrar un entero $n$ que se encuentra entre el $x \frac{log 10}{\log 2} + \frac{\log 9786543120}{\log 2}$ $x \frac{log 10}{\log 2} + \frac{\log 9786543121}{\log 2}$ para un entero $x$.

Esto puede lograrse si podemos encontrar una $x$ de manera tal que la parte fraccionaria de $x \frac{log 10}{\log 2}$ es de menos de $\frac{\log 9786543121}{\log 2} - \frac{\log 9786543120}{\log 2}$. Pero esto es siempre posible debido a $\frac{log 10}{\log 2}$ es irracional.