Encontrar la ecuación entero solución de $$\color{red}{y^3=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}$$
Es obvio $x=0,y=1$ o $x=-1,y=1$ son soluciones.
Cómo encontrar todas las soluciones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí es un acercamiento elemental, aunque tedioso si uno calcula todo a mano. Nuestra estrategia es perfecto para encontrar los cubos que están lo suficientemente cerca como para RHS (como Jack D'Aurizio mencionado en el comentario).
Denotando $~f(x)=27(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$, tenemos
- Reivindicación 1: Si $x\ge3$, luego
$$(3x^2+x)^3<f(x)<(3x^2+x+1)^3.$$
- Reivindicación 2: Si $x\ge2$, luego
$$(3x^2-x)^3<f(-x)<(3x^2-x+1)^3.$$
De vuelta a la ecuación original, podemos comprobar fácilmente el caso de $x=-1,~0,~1,~2$; al $x\ge3$, por la reivindicación 1, vemos a $(3y)^3=f(x)$ se encuentra entre dos periodos consecutivos de cubos, por lo tanto no se entero de soluciones; del mismo modo la reivindicación 2 cubre el caso en el $x\le-2$. Hemos terminado.
Prueba de reclamación 1:
- $$f(x)-(3x^2+x)^3=27+27x+27x^2+26x^3+18x^4>0,$$
- $$(3x^2+x+1)^3-f(x)=94+6(x-2)(7x+10)+x^2(x-3)(9x+19)>0,$$
La prueba de la reivindicación 2:
- $$f(-x)-(3x^2-x)^3=19+21(x-1)+(x-1)^2(18x^2+10x+29)>0;$$
- $$(3x^2-x+1)^3-f(-x)=(x-1)(9x^3+17x^2+2x+26)>0.$$
(1) En retrospectiva, no hay ninguna razón para utilizar métodos de primaria solamente. Nota las dos afirmaciones anteriores son esencialmente la misma:
$$(3x^2+x)^3<f(x)<(3x^2+x+1)^3$$
para $x\le-2$ o $x\ge3$.
Simplemente se podría tomar la derivada y demostrar las diferencias son monótonas en el rango...
(2) Un poco más pesado, pero más enfoque general es por el método de Runge, por ejemplo, ver este papel por Sankaranarayanan y Saradha.
