Existencia de variantes del axioma de elección

Question

Deje $\{A_i: i \in I\}$ ser un vacío familia de conjuntos no vacíos. ¿Por qué se permitió demostrar el Axioma de Elección mediante el Bien Principio de Ordenación de la siguiente manera:

Hay un buen orden de $\cup_{i \in I} A_i$. El uso de este orden, hay un primer elemento en cada una de las $A_i$. Deje $f(i)$ ser este primer elemento. A continuación, $f$ es una función de elección para esta familia.

Pero no para "probar" el Axioma de Elección directamente de la siguiente manera:

Cada una de las $A_i$ está vacío: hay un elemento de $A_i$. Deje $f(i)$ ser este elemento. A continuación, $f$ es una función de elección para esta familia.

Tanto los argumentos de la apelación a la existencia de algunos no especificado objeto (qué bien-orden? ¿qué elemento de $A_i$?); ¿por qué es que bien en el primer caso, pero no el segundo? (El enfoque anterior, por ejemplo, es de Aliprantis y Frontera, de Infinitas Dimensiones de Análisis, 3ª ed, p. 20.)

Debo admitir que sólo he leído acerca de la teoría de conjuntos ingenua, no axiomático que la teoría de conjuntos: quizás no he aprendido las reglas del juego.

Answer 1

Piénselo de esta manera: usted está tratando de escribir las instrucciones de un robot para escoger un elemento de cada conjunto. Las instrucciones tienen que ser completamente ambigua.

Si usted acaba de decir, "OK, cada conjunto $A_i$ tiene un elemento $a_i$; así que vamos a $f(i)$ ese elemento," esto claramente no sin ambigüedades decirle al robot cómo escoger un elemento de cada una de las $A_i$. Supongamos $A_i=\{x, y\}$ - que una es $a_i$?

Por otro lado, supongamos que usted tenía un buen orden $W$ de la unión de la $A_i$s todo mentira. Se podría decir que el robot:

• En la entrada de $i$,

• ir a $W$,

• y buscar la $W$-menos de elemento de $A_i$.

• Hay que elegir uno.

Este es ambigua! Es dependiente en $W$, por supuesto - diferentes $W$s dará diferentes procedimientos, pero siempre y cuando haya al menos un $W$, se puede escribir en este algoritmo. La conducción de esta casa: si $A_i=\{x, y\}$, entonces no sé cual de $x$ o $y$$a_i$, pero me sabrá tan pronto como me veo en $W$ y ver si $x<_Wy$ o $y<_Wx$. Pensar en un buen orden como una especie de disambiguator.

Answer 2

El principal problema aquí es definir de manera concreta, desde el universo, una función de elección (o cualquier objeto).

Tengo dos calcetines blancos, lisos, nueva, completamente indistinguibles. Tengo un calcetín en la mano izquierda, y la otra en mi derecho. Ahora que me doy la vuelta por un par de segundos y encienda de nuevo a usted. ¿Puedo cambiar los calcetines?

Usted no puede decir. Su poder de observación, fue posible observar que hay dos calcetines, pero no para discernir en forma significativa. Así que no sé si me cambié de ellos.

Así que ahora, si tengo una infinidad de tales pares, usted no puede decirme, en tiempo finito, ¿cómo elegir uno de cada par. Porque usted tiene que ir a cada pareja por separado, y elegir un calcetín (y se marca así que no se engañe más adelante).

Del mismo modo aquí. La existencia de un bien de pedidos nos permite de manera uniforme la etiqueta de todos los calcetines, todos los elementos. Pero cuando sólo sabemos que los conjuntos queremos elegir es no vacío, que no es suficiente para describir---en la matemática del universo, con "actual" herramientas " ---¿cuál sería la función de elección.

Answer 3

Primero de todo, tenga en cuenta que la prueba de que el Axioma de Elección del Bien el Principio de orden no es válida a menos que admitir que este último, como un axioma, no es una prueba de AC per se (que es la razón por la ZFC contiene CA como axioma), pero muestra que uno puede tomar WOP como axioma en lugar de CA y, a continuación, se derivan de CA de ella.

Segundo, tenga en cuenta que a pesar de las apariencias usted no está tratando de especificar una función de elección (nadie puede, incluso admitiendo WOP como axioma), pero sólo la existencia de una función de elección. Tenga en cuenta que si en lugar de tratar de demostrar la existencia de un bien de pedidos, que sería tautológica al admitir WOP como axioma: axioma afirma la existencia de un bien de pedido, QED. Yo no especificar cualquier bien el pedido, ni podía, pero la prueba de su existencia es completa (aunque trivial).

La diferencia entre las dos pruebas que mencionar es que el primero intenta (incorrectamente) para combinar los tautológica "si $X$ es no vacío, entonces existe un elemento de a $X$" infinitamente muchas veces para establecer la existencia de una función de elección, mientras que la segunda utiliza el tautología sólo una vez. Más precisamente, se utiliza el " poco menos trivial "si $X$ es no vacío y $F$ es un mapa de $X\to Y$ $Y$ es no vacío" (con $F$ bien la asignación de órdenes a la correspondiente elección de funciones) que es fácil de demostrar.

La razón por la que "infinitamente muchas veces" es importante, es que uno puede demostrar a partir de ZF sólo que "si $X$ $Y$ son ambos no vacío, entonces $X\times Y$ es no vacío". Así ZF va a demostrar la existencia de una función de elección en una colección de dos. Una otra prueba similar existe para cualquier colección finita. (Esto no es una prueba por inducción, o de lo contrario se podría demostrar contables elección de ZF, que uno no puede.) La declaración de que el producto Cartesiano de cualquier colección de conjuntos no vacíos es no vacío es, precisamente, la declaración de CA (y no es comprobable en ZF).

Answer 4

Una buena manera visual para " ver " el problema es este:

Para el primer método, imaginar cada orden de $\cup_{i\in I}A_i$ es de mármol, todos los cuales se ponen en un sombrero que es el sombrero de órdenes de ese conjunto. Nosotros, a continuación, invocar el principio de buena ordenación de demostrar que hay al menos una canica en el sombrero, y, a continuación, llegar a ese sombrero y sacar una canica (cualquiera de mármol, no importa que uno). A partir de aquí, utilizamos el pedido para recoger todos nuestros $a_i$'s.

Para el segundo método, en su lugar, para cada una de las $i\in I$, representan el $a_i$'s $A_i$ como el mármol en el sombrero etiquetados $A_i$ Ahora estamos necesitando para tomar una canica de cada una de las $|I|$ sombreros tenemos que construir nuestra elección de la función, y aquí es donde está el problema: ahora tenemos que hacer muchas elecciones, de hecho, si no tenemos un orden para $I$, entonces no hay ninguna manera de llegar con un procedimiento que podemos garantizar va a quitar un mármol de cada sombrero en $I$ (dijo canicas será el $f(i)$'s que definen a nuestra selección de función).

¿Ve usted el problema ahora?

Answer 5

Para qué nos puede "recoger" de uno", pero no infinitamente muchos:

Hay un blob. Sea x un. [razonamiento más] Así Q.

es la abreviatura de

Existe un blob.


Para todos los blobs x:

[razonamiento más]
Q

.


Para todos los blobs x, Q. Lo Q.

utilizando la regla de

Para las fórmulas Q en el que x no ocurre libre,
a partir de (∀x)(P(x) implica Q) y (∃x)(P(x)) ,
uno puede deducir P.

, donde P es "es un blob".


Que la regla podría ser más fácil de ver indirectamente:

Si (∀x)(P(x) implica P) pero Q es falsa, entonces uno debe tener
no P(x) para cada x, con el fin de hacer que el P(x) implica Q verdadero.

No hay manera similar a formalizar "a elegir uno de cada uno".