¿Es la densidad lagrangiana a funcional o una función?

Question

Weinberg en la página 300 de La Teoría Cuántica de Campos - Volumen I dice:

$L$ sí debe ser un espacio integral de la función escalar de $\Psi(x)$$\partial \Psi(x)/\partial x^\mu$, conocido como el Lagrangiano de la densidad de $\mathscr{L}$:

$$ L[\Psi(t), \dot{\Psi}(t)]= \int d^3x \, \mathscr{L}\bigr(\Psi({\bf x},t), \nabla \Psi({\bf x},t), \dot{\Psi}({\bf x},t)\bigl) $$

Así que él dice que $\mathscr{L}$ es una función. Pero Gelfand y Metformina en la primera página de su libro de Cálculo de variaciones decir:

Por un funcional nos referimos a una correspondencia que asigna un definido (real) número a cada funcion (o curva) que pertenecen a alguna clase.

Así que desde que yo diría que es un funcional. Las notas de teoría cuántica de campos de mi profesor de permanecer en este lado, llama explícitamente al lagrangiano de un funcional de la densidad.

Estoy muy confundido en el momento. Siempre he utilizado esta última forma de definir funcionales (la Gelfand manera) así Weinberg diciendo que $\mathscr{L}$ es una función que me confunde.

Puede alguien hace algo más de claridad acerca de esto?

Answer 1

El Lagrangiano de la densidad es una función.

Considere los siguientes ejemplos: $$ [F]=\int_0^1\mathrm dx\ f(x) $$ y $$ B(f(x))=f(x) $$

Está claro que $A$ es funcional, porque, por ejemplo, $$ Un[\pecado]=1-\cos1=0.45\in\mathbb R $$ is a number, while $B$ es una función, porque $$ B(\pecado)=\sin $$ no es un número, sino una función.

En su nota, $L$ es funcional, debido a que dada una cierta configuración en el campo, usted obtiene un número. Pero $\mathscr L$ es una función, porque se le da una cierta configuración en el campo, se obtiene otra función, no un número.

En algunos casos, como en la QED en el gauge de Coulomb, puede que desee incluir en la no-locales en términos de la densidad Lagrangiana, que la convierte en una función de algunos de sus argumentos, y un funcional de los demás. Esta es una excepción a la regla anterior.

Answer 2

1. En el marco de la geometría diferencial, la construcción va de la siguiente manera. Deje que se dé un 4-dimensional orientables el espacio-tiempo colector $M$. Un campo es una sección $$\phi~\in~\Gamma(E) \tag{1}$$ en un bundle $(E,\pi,M)$.

2. El Lagrangiano$^1$ 4-formulario de $\mathbb{L}$ es un paquete de mapas $$ \begin{array}{rcl} J^1(M,E) &\stackrel{\mathbb{L}}{\longrightarrow}& \bigwedge^4T^{\ast}M \cr \searrow && \swarrow \cr &M&\end{array}\tag{2}$$ desde el primer$^2$ jet paquete $J^1(M,E)$ a la canónica paquete de más de $M$.

3. En un local de coordenadas del gráfico de $U\subseteq M$, el Lagrangiano de 4-formulario de $$\left. \mathbb{L}\right|_U~=~{\cal L} ~\mathrm{d}^4x, \qquad \mathrm{d}^4x ~:=~\mathrm{d}x^0\wedge\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^3, \tag{3}$$ donde ${\cal L}$ es el Lagrangiano de la densidad. En otras palabras, la densidad Lagrangiana ${\cal L}$ transforma$^3$ como densidad en general a transformaciones de coordenadas de espacio-tiempo $M$.

4. La acción funcional $S:\Gamma(E)\to \mathbb{R}$ se define como $$S[\phi]~:=~\int_{M} (j^1\phi)^{\ast} \mathbb{L}.\tag{4}$$ Véase también por ejemplo, este y este Phys.SE postes.

5. Supongamos por simplicidad supongamos que $M$ tiene todo el mundo un sistema de coordenadas definido por $U\subseteq \mathbb{R}^4$, y sólo el uso de esta a partir de ahora.

6. Por otra parte, supongamos por simplicidad supongamos que $\phi$ es un verdadero campo escalar. A continuación, el espacio total es de $E= M\times\mathbb{R}$, y el bulto $(E,\pi,M)$ es un trivial de la línea de paquete.

7. A continuación, el primer jetbundle $$J^1(M,E)~\cong~ T^{\ast}M \times \mathbb{R}\tag{5}$$ ha $4+1+4=9$ coordenadas $$(x^0,x^1,x^2,x^3;~ u;~ u_0, u_1, u_2, u_3).\tag{6}$$ En particular, la densidad Lagrangiana $${\cal L}: U \times \mathbb{R}^5~\longrightarrow ~\mathbb{R} \tag{7}$$ es un (densidad de valor) función, cf. OP de la pregunta del título.

8. Ser conscientes de que los físicos suelen utilizar la misma notación para el Lagrangiano de la densidad de ${\cal L}$ y el pull-back $(j^1\phi)^{\ast} {\cal L}$, es decir, se escriben a menudo $${\cal L}(x^0,x^1,x^2,x^3;~ u;~ u_0, u_1, u_2, u_3) \tag{8} $$ como $${\cal L}\left(x^0,x^1,x^2,x^3;~ \phi(x);~ \partial_0\phi(x), \partial_1\phi(x), \partial_2\phi(x), \partial_3\phi(x)\right). \tag{9} $$

--

$^1$ El Lagrangiano de 4-formulario de $\mathbb{L}$ y la densidad Lagrangiana ${\cal L}$ no debe ser confundido con el de Lagrange $L$. De manera más general, el Lagrangiano $L$ es una función de (e igual a la densidad Lagrangiana ${\cal L}$) en punto de la mecánica; mientras que el Lagrangiano $L$ es un funcional en la teoría de campo. Ver también este Phys.SE post.

$^2$ No es una simple generalización de orden superior de Lagrange sistemas en un (posiblemente de no-orientable) spacetime $M$ de dimensión arbitraria.

$^3$ Aquí estamos siendo un poco arrogante acerca de si el Jacobiano de la transformación de la ley para una densidad debe incluir un valor absoluto o no. Este no es un problema si el espacio-tiempo $M$ es orientable.

Answer 3

En general, un funcional es un mapa de $V \to F$ para un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$. Tal funcionales vivir en el espacio dual $V^*$ si son lineales.

$V$ puede ser infinito-dimensional y si se trata de un espacio de funciones, luego de un funcional es un mapa de una función para algunos escalares. Por ejemplo,

$$\mathcal{E}[f] = \int_0^1 f(x)^2 \, dx$$

es un ejemplo de un mapeo funcional $f(x) \mapsto \int_0^1 f(x)^2 \, dx.$ Este es no de la misma como función de la composición, $f \circ g = f(g(x))$ que simplemente produce otra función. Ahora, el Lagrangiano de la densidad de la forma, $\mathcal L (\phi, \partial_\mu \phi)$ toma alguna función $\phi$ y sus derivados, y produce una función. Podríamos sustituir la notación con variables ficticias y, a continuación, utilizar la composición al escribir esta operación de forma equivalente.

Por otro lado, el Lagrangiano en lugar de Lagrange de la densidad,

$$L = \int d^3 x \, \mathcal L (\phi, \partial_\mu \phi)$$

es un funcional pero proporcionando piensa usted de $t$ como se mantiene fijo.