¿Cómo explica este comportamiento extraño?

Question

Considerar la secuencia $x_{n+1} = 2x_{n}-\frac{1}{x_n},n\geq0 $.

1. $x_{0} = 0,87$ Tenemos

$$\begin{aligned} X(1) &\approx 0,590574712643678 \\ X(2) &\approx -0,512116436915835\\ X(3) &\approx 0,928448055572567\\ X(4) &\approx 0,779829931731029\\ X(5) &\approx 0,277328986805082\\ X(6)&\approx -3,05116776974367\\ X(7)&\approx -5,77459217187698\\ X(8)&\approx -11,37601194123\\ X(9)&\approx-22,6641196146756\\ X(10)&\approx -45,2841166242379\\ X(11)&\approx -90,5461504504763\\ X(12)&\approx -181,081256809127\\ X(13)&\approx -362,156991235554\\ X(14)&\approx -724,311221237654\\ X(15)&\approx -1448,62106185332\\ X(16)&\approx -2897,24143339498\\ X(17)&\approx -5794,48252163406\\ X(18)&\approx -11588,9648706901\\ X(19)&\approx -23177,9296550913\\ X(20)&\approx -46355,8592670381\\ X(21)&\approx -92711,718512504\\\ X(22) &\approx -185423,437014222\\ X(23) &\approx -370846,874023051\\ X(24) &\approx -741693,748043405\\ X(25) &\approx -1483387,49608546 \end{alineado}\begin{aligned} X(26) &\approx -2966774,99217025\\ X(27) &\approx -5933549,98434016\\ X(28) &\approx -11867099,9686802\\ X(29) &\approx -23734199,9373602\\ X(30) &\approx -47468399,8747204\\ X(31) &\approx -94936799,7494408\\ X(32) &\approx -189873599,498882\\ X(33) &\approx -379747198,997763\\ X(34) &\approx -759494397,995526\\ X(35) &\approx -1518988795,99105\\ X(36) &\approx -3037977591,98211\\ X(37) &\approx -6075955183,96421\\ X(38) &\approx -12151910367,9284\\ X(39) &\approx -24303820735,8568\\ X(40) &\approx -48607641471,7137\\ X(41) &\approx -97215282943,4274\\ X(42) &\approx -194430565886,855\\ X(43) &\approx -388861131773,709\\ X(44) &\approx -777722263547,419\\ X(45) &\approx -1555444527094,84\\ X(46) &\approx -3110889054189,68\\ X(47) &\approx -6221778108379,35\\ X(48) &\approx -12443556216758,7\\ X(49) &\approx -24887112433517,4\\ X(50) &\approx -49774224867034,8 \end{alineados} $$

y $x_{0} = 0,88$

$$\begin{aligned} X(1) &\approx 0,623636363636364\\ X(2) &\approx -0,356225815001326\\ X(3) &\approx 2,09475648880333\\ X(4) &\approx 3,71213052034011\\ X(5) &\approx 7,15487396107172\\ X(6) &\approx 14,1699830562016\\ X(7) &\approx 28,2693943978123\\ X(8) &\approx 56,503414850717\\ X(9) &\approx 112,989131656057\\ X(10) &\approx 225,969412903359\\ X(11) &\approx 451,934400429021\\ X(12) &\approx 903,866588147526\\ X(13) &\approx 1807,73206993709\\ X(14) &\approx 3615,46358669485\\ X(15) &\approx 7230,9268968\\ X(16) &\approx 14461,8536553051\\ X(17) &\approx 28923,7072414629\\ X(18) &\approx 57847,414448352\\ X(19) &\approx 115694,828879417\\ X(20) &\approx 231389,657750191\\ X(21) &\approx 462779,31549606\\ X(22) &\approx 925558,630989959\\ X(23) &\approx 1851117,26197884\\ X(24) &\approx 3702234,52395714\\ X(25) &\approx 7404469,047914 \end{alineado}\begin{aligned} X(26) &\approx 14808938,0958279\\ X(27) &\approx 29617876,1916557\\ X(28) &\approx 59235752,3833113\\ X(29) &\approx 118471504,766623\\ X(30) &\approx 236943009,533245\\ X(31) &\approx 473886019,06649\\ X(32) &\approx 947772038,13298\\ X(33) &\approx 1895544076,26596\\ X(34) &\approx 3791088152,53192\\ X(35) &\approx 7582176305,06384\\ X(36) &\approx 15164352610,1277\\ X(37) &\approx 30328705220,2554\\ X(38) &\approx 60657410440,5108\\ X(39) &\approx 121314820881,022\\ X(40) &\approx 242629641762,043\\ X(41) &\approx 485259283524,086\\ X(42) &\approx 970518567048,172\\ X(43) &\approx 1941037134096,34\\ X(44) &\approx 3882074268192,69\\ X(45) &\approx 7764148536385,38\\ X(46) &\approx 15528297072770,8\\ X(47) &\approx 31056594145541,5\\ X(48) &\approx 62113188291083\\ X(49) &\approx 124226376582166\\ X(50) &\approx 248452753164332 \end{alineados} $$

¿Cómo explica esto?

¿También, es posible determinar el número $q$ situado entre $0.87$ y $0.88$ en el cambio radical de comportamiento presenta esta secuencia?

Answer 1

La ampliación de la función de $f : x \mapsto 2x- \frac 1x$ al círculo de $\Bbb R \cup \{\infty\}$ definiendo $f(0) = f(\infty) = \infty$, $f$ $2$a-$1$ función de con $3$ fixpoints, uno de los atractivos ($\infty$), y dos repulsivo ($1,-1$).

Así, para la mayoría a partir de reales, genera una secuencia de "converger" a $\infty$. Desde $f$ es continua, el conjunto de los reales que generan una secuencia divergentes a $+ \infty$ es un subconjunto abierto, así como el conjunto de los reales que generan una secuencia divergentes a $- \infty$.

los dos conjuntos de "entrar en contacto" a los números reales que generan una secuencia final va a $0$ y, a continuación, que se queda en la $\infty$. Aquí, usted puede ver claramente que hay un $x \in (0.87 ; 0.88)$ tal que $f^{6}(x) = 0$.

Para encontrar el valor exacto de ese $x$, es necesario calcular las sucesivas antecedentes de $0$ $f$ que yacía entre las dos secuencias.

$f^{-1}(y) = \frac{y \pm \sqrt {y^2+8}}4$, así, la primera es $\frac {\sqrt 2}2$ (entre los dos $X(5)$ valores) $\frac {\sqrt 2 + \sqrt {34}}8$ (entre los dos $X(4)$ valores), y puede ir hasta llegar a la incriminatorias $x \in (0.87;0.88)$.

También, el conjunto de todos los antecedentes de la $0$ ha acumulación de puntos (a partir de la con $1$$-1$, pero pueden ser más), así que es muy posible encontrar muchos incriminatorias los valores entre los dos valores iniciales, por volver el tiempo suficiente en los antecedentes de árbol.

Answer 2

La recurrencia tiene puntos fijos en 1 y -1.

Si $x_n \lt -1$ a continuación, la secuencia se vuelve cada vez más negativa.

Si $x_n \gt 1$ a continuación, la secuencia se vuelve cada vez más positiva.

La secuencia se bloquea si $x_n=0$

El comportamiento fuera del intervalo de $(-1,1)$ es claro, por lo que no necesitan de largas cadenas de valores de explicar.

La forma de entender lo que está pasando es ver que el intervalo de $(-1,1)$ pueden ser separados en subintervalos en los que los valores presentan el mismo comportamiento. El comportamiento cambia cuando pasamos a través de un punto crítico - y estos son sólo los puntos en los que la secuencia eventualmente termina en $0$ o $\pm1$.

Así, por ejemplo, si $x_n \in (-0.5,0)$ nos encontramos con que $x_{n+1} \gt 1$ y $x_n \in (0,0.5)$ da $x_{n+1} \lt -1$. Los cambios de comportamiento a medida que pasa a través de $0$.

Tomamos nota de que, si $x_n=\pm0.5$$x_{n+1}=\mp1$, por lo que estos son puntos críticos. También si $x_n=\pm \frac {\sqrt 2} 2$$x_{n+1}=0$.

Si $x=a$ es un punto crítico, se obtiene la siguiente(s) punto(s) de mapa en $a$ - mediante la resolución de $2x-\cfrac 1 x=a$, esto es equivalente a $$2x^2-ax-1=0$$ with solutions $$\frac {a\pm\sqrt{a^2+8}}4$$

Answer 3

Si usted hace el % de transformación $y_n=\sqrt{2}x_n$, entonces la ecuación se transforma en $$y_{n+1}=2\left(y_n-\frac{1}{y_n}\right),\ n\geq 0$ $

Por lo tanto, básicamente estamos hablando de los siguientes tipos de mapa $$ f (x) = \lambda\left (x + \frac {a} {x} \right), \, \mathbb{R},\ \lambda x\in > 0 $$ For $a < 0$, this function has fixed points at $x={}_{-}^+\sqrt{\frac{\lambda a}{1-\lambda}},\infty$. ${}_{-}^+\sqrt{-a}$ are both attracting for $0 < 1$ and repelling for $\infty$. $\lambda \lambda < 1$ is attracting for $\lambda > < 1$. Este mapeo exhibe dinámica rica tan bueno como el famoso mapa logístico.