Enunciado del problema: Vamos a $\Gamma$ ser la imagen de un Lipschitz continua en función de $\gamma : [0,1] \to R^n$, $\Gamma = \{\gamma(t) : t \in [0,1]\}$, e $|\gamma(t_1) - \gamma(t_2)| \le K |t_1 - t_2|$. Mostrar que $m_n(\Gamma) = 0$ donde $m_n$ $n$ dimensional de la medida de Lebesgue.
Mi intento de solución: Para comenzar con, quería comprobar y ver si mi intuición de por qué esta afirmación es verdadera tiene sentido. Creo que la razón de esto es cierto es debido a que $m_n([0,1]) = 0,$ desde $[0,1] = [0,1] \times \{0\}$$R^n$, pero no estoy seguro de si eso es correcto.
Vamos, lo que he hecho hasta ahora es: demostró que desde $\gamma$ es de Lipschitz, es absolutamente continua, así de variación acotada, y puede ser escrito como una diferencia de dos funciones crecientes. Por lo tanto, WLOG, suponga $\gamma$ es cada vez mayor. Ahora, esto implica que si $\{(a_i,b_i)\}_{i=1}^m$ es una colección finita de intervalos abiertos que cubre $[0,1]$, $\{f(a_i),f(b_i)\}^m_{i=1}$ cubre $\Gamma$.
Ahora, sabemos que podemos encontrar algunos de esos colección de abrir intervalos que cubren $[0,1]$, de tal manera que $m([0,1]) + \epsilon > \sum^m_{i=1}|b_i-a_i|$, y sabemos que
$$m_n(\Gamma) \le \sum^m_{i=1}|f(b_i)-f(a_i)| \le K \sum^m_{i=1}|b_i-a_i| < 1 + \epsilon.$$
Evidentemente, esto no me lo quería, pero no estoy seguro de cómo incorporar el hecho de que $m_n([0,1]) = 0$... una pista en la dirección correcta sería apreciada.
