Una forma intuitiva de entender la fórmula de Jacobi.

Question

Supongamos que $\mathbf A=\mathbf A(t)$ es una matriz cuyas entradas están parametrizadas por una variable $t$ . La fórmula de Jacobi establece que $$ \frac d{dt}\left( \det \mathbf A\right)= \text{Tr}\left( \text{adj} (\mathbf A ) \frac{d\mathbf A}{dt} \right)\ , $$ donde $\text{adj}(\mathbf A)$ es el adjuntar (o adjunto) de $\mathbf A$ . Hay una prueba de ello en este artículo de la wikipedia . Otra identidad estrechamente relacionada, que parece llevar el mismo nombre, es $$ \det\left( e^{\mathbf A} \right) = e^{\text{Tr}(\mathbf A)}\ . $$ Quiero entender la razón por la que estas fórmulas son ciertas, especialmente la segunda. En particular, ¿cuál es la interpretación de $\det\left( e^{\mathbf A} \right)$ y $\text{Tr}(\mathbf A)$ cuando $\mathbf A$ ¿se considera un operador lineal?

Estos son algunos enlaces relacionados que he encontrado sobre la cuestión:

Derivada de un determinante de un campo de matrices

Prueba para la derivada del determinante de una matriz

Exponencial de una matriz y derivada correspondiente

Answer 1

Al interpretar la exponencial de un mapa lineal $f:V\to V$ en un espacio vectorial real de dimensión finita $V$ me parece mejor no mirar $e^f$ pero en la familia $e^{tf}$ para $t\in\mathbb R$ . Este es el operador de solución para la EDO lineal de primer orden $x'=f(x)$ es decir, la solución única con la condición inicial $x(0)=x_0$ viene dada por $x(t)=e^{tf}(x_0)$ . Por lo tanto, $e^f$ puede interpretarse como el cálculo de la dependencia de la solución en el tiempo $t=1$ en la condición inicial. En esta etapa se puede utilizar la interpretación del determinante a través de los volúmenes que sugirió.

Ahora las propiedades de la exponencial implican fácilmente que $t\mapsto \det(e^{tf})=:\phi(t)$ satisface $\phi(t+s)=\phi(t)\phi(s)$ y $\phi(0)=1$ lo que implica fácilmente que $\phi'(t)=\lambda\phi(t)$ , donde $\lambda=\phi'(0)$ . La solución única de esta EDO con condición inicial $\phi(0)=1$ es $\phi(t)=e^{\lambda t}$ . Por lo tanto, concluimos que $\det(e^{tf})=e^{t\lambda(f)}$ para alguna función $\lambda:L(V,V)\to\mathbb R$ .

Tampoco es difícil ver que $\lambda$ tiene que ser invariante bajo la conjugación: Obsérvese que $c(t)=e^{tf}$ está determinada de forma única por $c(0)=id$ y $c'(t)=f\circ c(t)$ . Ahora bien, si $g:V\to V$ es un isomorfismo lineal, es fácil concluir que $e^{t(g\circ f\circ g^{-1})}=g\circ e^{tf}\circ g^{-1}$ . Tomando los determinantes, se concluye que $\lambda(g\circ f\circ g^{-1})=\lambda(f)$ . Con un poco más de esfuerzo, puedes demostrar que $\lambda$ es lineal, lo que implica que es un múltiplo de la traza. Comprobando el caso $f=id$ y luego ordena que $\lambda(f)=tr(f)$ . Desgraciadamente, no conozco una interpretación "intuitiva" de la traza en este entorno, aparte de que se puede ver como el cálculo de la única $GL(V)$ -proyección invariante de $f$ en múltiplos de la identidad.