Son coordinar las proyecciones continua?

Question

Bueno he estado trabajando bajo la suposición de que este es "evidente" por un tiempo ahora, pero comenzó a error mí y ahora estoy buscando a tientas para demostrarlo.

Supongamos $X$ es una normativa espacio lineal (posiblemente infinito dimensional). Deje $\mathcal{B}$ ser una base de Hamel $X$. Fix $b \in \mathcal{B}$. Es la de coordinar la proyección de $P_b : X \to \mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ definido por $P_b(b) = 1$ $P_b(x)=0$ $x \notin \mathrm{span}(\{b\})$ continua?

Answer 1

No. Con la notación como en el problema, supongamos $X$ es de dimensiones infinitas y completo, y dejar que $b_1, b_2, ...$ ser una contables subconjunto de $B$. WLOG $\| b_i \| = 1$. Entonces la serie

$$\sum_i \frac{b_i}{2^i}$$

converge a algún elemento de $X$, lo que, por supuesto, puede ser expresada como una suma finita $\sum_j c_j b_j$ donde $b_j \in B$ y la suma de los rangos de más de algunos finito conjunto de índices $J$. De ello se sigue que

$$\sum_{i=1}^n \frac{b_i}{2^i} - \sum_j c_j b_j \to 0$$

como $n \to \infty$. De aquí se deduce que todos, pero un número finito (en la mayoría de las $|J|$) de las proyecciones de $P_{b_i}$ menos de ser continua porque no preservar el límite anterior.

Al menos debe exigir que $B$ es una base de Schauder, pero aún así, creo que la conclusión a la falla.