Condiciones Necesarias y Suficientes para la Integrabilidad de Riemann

Question

Una función se llama integrable de Riemann si y solo si está acotada y continua casi en todas partes en su dominio. Sin embargo, he leído que las siguientes dos afirmaciones también son ciertas:

a) Si $f$ es continua entonces $f$ es integrable de Riemann

b) Si $f$ está acotada entonces $f$ es integrable de Riemann

¿Cómo encajan exactamente estas condiciones para dar la condición necesaria y suficiente primero establecida aquí?

Answer 1

La afirmación $(a)$ es verdadera (y la continuidad sobre un intervalo cerrado implica acotamiento), ¡pero la afirmación $(b)$ no lo es! Toma $${\bf 1}_{[0,1]\cap \Bbb Q}$$

No es Riemann integrable en $[0,1]$, pero está acotada.

AGREGAR Las condiciones para la integrabilidad de Riemann son muy precisas. Una función (acotada) es Riemann integrable en un intervalo cerrado $[a,b]$ si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:

$(1)$ Para cada $\epsilon>0$ existen funciones escalonadas $s_1\leq f \leq s_2$ tales que $$\int_a^b s_2-\int_a^b s_1<\epsilon$$

$(2)$ Existe un número $I$ (la integral) tal que para cada $\epsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que para cada partición etiquetada $P=\{x_0,\dots,x_n,t_0,\dots,t_n\}$ de $[a,b]$ con $\Delta P<\delta $ (la malla de $P$) tenemos que $$\left| I-\sum_{x,t\in P}f(t)\Delta x\right| <\epsilon$$

$(3)$ Para cada $\epsilon >0$ existe una partición $P_\epsilon=\{x_0,\dots,x_n\}$ de $[a,b]$ tal que $$U(f,P_\epsilon)-L(f,P_\epsilon)<\epsilon$$

$(4)$ Se cumple que $$\sup\{L(f,P):P \text{ es una partición de } [a,b]\}=\inf\{U(f,P):P \text{ es una partición de } [a,b]\}$$

$(5)$ El conjunto de discontinuidades de $f$ tiene medida de Lebesgue $0$, es decir, dado $\epsilon >0$, el conjunto $$A=\{x\in[a,b]:f\text{ es discontinua en } x\}$$ puede ser cubierto por un número contable de intervalos abiertos cuya suma de longitudes es menor que $\epsilon$.

Answer 2

Tenga en cuenta que, la afirmación en $(b)$ no es cierta en general. Para ver esto, simplemente considere la función de Dirichlet que no es integrable de Riemann.

Answer 3

La integridad de Riemann depende de que $f$ esté definida en un intervalo cerrado; así que asumiré que el dominio es el dado.

Para la pregunta a, quieres considerar la proposición de que una función continua en un conjunto compacto (como por ejemplo un intervalo cerrado) está acotada. Si puedes demostrar eso, entonces se deduce que la función está acotada y continua casi en todas partes en el dominio.

Para la pregunta b, creo que la afirmación es falsa, considera la función característica de los racionales en $[0,1]$. Las sumas superiores siempre son 1 y las sumas inferiores siempre son 0 sin importar cómo dividas el dominio.

Answer 4

Condición necesaria Sea $f$ integrable de Riemann. Sea $\epsilon \in \mathbb{R}_{>0}$ dado. Se debe demostrar que existe una subdivisión $S$ de $\left[{a \,.\,.\, b}\right]$ tal que: $U \left({S}\right) – L \left({S}\right) < \epsilon$

Dado que $f$ es integrable de Riemann: $\displaystyle \int_a^b f \left({x}\right) \ \mathrm d x$ existe. Por la definición de la integral de Riemann: la integral inferior $\displaystyle \underline {\int_a^b} f \left({x}\right) \ \mathrm d x$ existe. Así, por la definición de integral inferior: $\sup_P L \left({P}\right)$ existe donde: $L \left({P}\right)$ denota la suma inferior de $f$ en $\left[{a \,.\,.\, b}\right]$ con respecto a la subdivisión $P$ $\sup_P L \left({P}\right)$ denota el supremo de $L \left({P}\right)$.

Se sigue que existe una subdivisión $S_1$ de $\left[{a \,.\,.\, b}\right]$, que cumple: $\sup_P L \left({P}\right) - L \left({S_1}\right) < \dfrac \epsilon 2$

De manera similar: Por la definición de la integral de Riemann: la integral superior $\displaystyle \overline {\int_a^b} f \left({x}\right) \ \mathrm d x$ existe. Así, por la definición de integral superior: $\inf_P U \left({P}\right)$ existe donde: $U \left({P}\right)$ denota la suma superior de $f$ en $\left[{a \,.\,.\, b}\right]$ con respecto a la subdivisión $P$ $\inf_P U \left({P}\right)$ denota el ínfimo de $U \left({P}\right)$.

Se sigue que existe una subdivisión $S_2$ de $\left[{a \,.\,.\, b}\right]$, que cumple: $U \left({S_2}\right) - \inf_P U \left({P}\right) < \dfrac \epsilon 2$

Ahora sea $S := S_1 \cup S_2$ definido. Observamos: $S$ es igual a $S_1$ o más fino que $S_1$ $S$ es igual a $S_2$ o más fino que $S_2 Encontramos: $L \left({S}\right) \ge L \left({S_1}\right)$ por la definición de la suma inferior y $S$ refinando $S_1$ $U \left({S}\right) \le U \left({S_2}\right)$ por la definición de la suma superior y $S$ refinando $S_2$

Recuerde que por la definición de integrabilidad de Riemann: $\displaystyle \overline {\int_a^b} f \left({x}\right) \ \mathrm d x = \underline {\int_a^b} f \left({x}\right) \ \mathrm d x$