¿Agregar enteros a una expansión fraccional continua infinita no cambia el valor?

Question

Estoy aprendiendo acerca de fracciones continuas y hasta ahora las he disfrutado, pero no estoy seguro si he hecho lo siguiente correctamente. No tengo experiencia real con análisis, así que no estoy seguro si mi razonamiento es lo suficientemente formal o correcto. Cualquier comentario sería apreciado.

Deje $\xi$ ser un número irracional con expansión en fracción continua $\langle a_0, a_1, a_2, a_3 \dots\rangle$. Deje $b_1, b_2, b_3, \cdots$ ser cualquier secuencia de enteros positivos, ya sea finita o infinita. Demuestre que $\lim_{n\to\infty}\langle a_0, a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, b_3 \dots\rangle=\xi$.

Deje $r_n=\langle a_0, a_1, \dots, a_n\rangle$ y $\xi'=\langle b_1, b_2, b_3, \dots\rangle$, y deje $\beta_n=\langle a_0, a_1, a_2, a_3 \dots, a_n, \xi'\rangle$. Entonces

$$\beta_n-r_n=\beta_n-\frac{h_n}{k_n}=\frac{\xi'h_n+h_{n-1}}{\xi'k_n+k_{n-1}}-\frac{h_n}{k_n}$$ $$=\frac{-(h_nk_{n-1}-h_{n-1}k_n)}{k_n(\xi'k_n+k_{n-1})}=\frac{(-1)^n}{k_n(\xi'k_n+k_{n-1})}$$

Pero ${k_n}$ es una serie creciente positiva, $\xi'$ es un número real positivo, por lo tanto, a medida que $n$ tiende a $\infty$, el denominador tiende a $\infty mientras que el numerador varía entre $-1$ y $1$, por lo que la fracción tiende a $0$. Por lo tanto, tenemos que $\lim_{n\to\infty}(\beta_n-r_n)=0$, entonces $$\lim_{n\to\infty}\beta_n=\lim_{n\to\infty}r_n=\lim_{n\to\infty}\langle a_0, a_1, a_2, \dots, a_n\rangle=\langle a_0, a_1, a_2 \dots\rangle=\xi.$$ Por lo tanto, $\lim_{n\to\infty}\langle a_0, a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, b_3 \dots\rangle=\xi$.

¿Este es el camino correcto a seguir? Como una pregunta secundaria, ¿cómo tiene sentido tener enteros $b_i$ al final de esta secuencia, si la secuencia es infinita? ¡Gracias!

*Si no es bien conocido, $\{h_n\}$ es la secuencia definida por $h_{-2}=0, h_{-1}=1, h_i=a_ih_{i-1}+h_{i-2}$ y $\{k_n\}$ se define como $k_{-2}=1, k_{-1}=-1, k_i=a_ik_{i-1}+k_{i-2}$, y $r_n=\langle a_0, a_1, \dots, a_n\rangle$, para cualquier secuencia de enteros $a_0, a_1, a_2 \dots$ todos positivos excepto quizás $a_0$.

Answer 1

Estás en el camino correcto, pero algunas afirmaciones no tienen sentido alguno.

1) "Como $\xi'$ es una secuencia de enteros positivos": Esto no tiene sentido. $\xi'$ es un número real constante.

2) Estás utilizando una notación confusa. $\beta = \langle a_0, a_1, \dots, a_n, \xi' \rangle$. Esto varía con $n$, así que necesitas hablar de $\beta_n$.

3) "Por lo tanto, tenemos $\lim_{n \to \infty} (\xi' -r_n) = 0" no es correcto. Esto implica que dos números reales son iguales (¡piénsalo)! Necesitas considerar $\lim_{n \to \infty} \beta_n$.

En cuanto a tu pregunta secundaria, no es una secuencia.

¡Es una secuencia de secuencias!

$a_0, a_1, b_1, b_2, b_3, \dots$

$a_0, a_1, a_2, b_1, b_2, b_3, \dots$

$\vdots$

$a_0, a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, b_3 \dots$

$\vdots$

Observa que en cada secuencia, solo teníamos un número finito de los $a_i$.

Cada secuencia corresponde a un número real (los $\beta_n$ anteriores).

Así obtenemos una nueva secuencia

$\beta_1, \beta_2, \dots$

Y el problema te pide que demuestres que $\lim_{n \to \infty} \beta_n = \xi$.

Answer 2

Tu trabajo me parece bueno.

Tiene sentido tener el $b_n$ al final de la secuencia ya que cada etapa de la secuencia es finita. Este es un punto importante. En cada etapa, la lista de $a$'s es finita, por lo que tiene sentido tener más números (de cualquier tipo) al final. Pero a medida que dejas que $n \rightarrow \inf $, se van empujando cada vez más hacia afuera. La forma en que funcionan las fracciones continuas, tienen cada vez menos impacto, como demostraste. Entonces, "en el límite", no importan.