Demostrar que la traza de una matriz es $0$.

Question

Sea $ n\geq 2 $ y $ A,B,C \in M_{n}(\mathbb{C}) $ sean tres matrices tales que $$ A^{2}B+BA^{2}=2ABA $$ y $ C=AB-BA $.

Demuestra que $ \mbox{tr}(C^{k})=0,\forall k\in \mathbb{N}. $ Intenté resolverlo por inducción matemática, pero no funcionó. Lo único que sé es que $ \mbox{tr}(C)=0. $

Answer 1

La igualdad dada es equivalente a $AC=CA$. Según el lema de Jacobson, $C$ es nilpotente y hemos terminado.

cf. página 1 de https://jankobracic.files.wordpress.com/2011/02/on-the-jacobsons-lemma.pdf

EDIT. para @ George R. Supongamos que reemplazamos el campo subyacente $\mathbb{C}$ con un anillo conmutativo $R$. Entonces, la referencia anterior muestra que existe $k$ tal que $n!A^k=0_n$; si $n!$ no es un divisor de cero en $R$, entonces $A^k=0$ y $A$ es nilpotente. Desafortunadamente, sabemos poco sobre las trazas de $(A^j)_{j\leq k}$ e incluso $A^n$ no necesariamente es $0$!. Por ejemplo, considera $A=2I_2$ sobre $R=\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}$; $A$ es nilpotente porque $A^4=0$ pero $tr(A)=4\not= 0, tr(A^2)=8\not=0$ y $A^3\not=0$.

Ahora, reemplazamos $\mathbb{C}$ con un campo $K$ tal que $charac(K)>n$; entonces $n!$ es invertible y $A^k=0$; si $spectrum(A)=(\lambda_i)_i$ (los autovalores), entonces $spectrum(A^k)=(\lambda_i^k)_i=(0,\cdots,0)$. Por lo tanto, para cada $i$, $\lambda_i=0$ y, además, para cada $i, p\geq 1$, $\lambda_i^p=0$. Finalmente, para cada $p\geq 1$, $tr(A^p)=\sum_i\lambda_i^p=0.

Recíprocamente, podemos probar que si $tr(A)=\cdots=tr(A^n)=0$, entonces $spectrum(A)=\{0,\cdots,0\}$ y $A$ es nilpotente.