¿La carga de Noether es siempre un operador hermitiano?

Question

El teorema de Noether nos dice que a toda simetría continua del Lagrangiano le corresponde una corriente conservada $j^\mu$ . A partir de la componente temporal de esta corriente, podemos definir la carga noetheriana $$Q = \int d^3\mathbf{x}\ j^0(\mathbf{x}),$$ que es un operador independiente del tiempo. En todos los ejemplos que he visto, la carga de Noether $Q$ es siempre un operador hermitiano (hasta un reescalado trivial por $i$ ). Pero nadie parece mencionar nunca explícitamente este hecho con toda generalidad.

¿Podemos demostrar que el teorema de Noether siempre nos dará un operador de carga hermitiano? Si no es así, ¿hay contraejemplos?

Answer 1

La carga de Noether es el generador de la simetría a la que pertenece, véase por ejemplo esta respuesta de Qmechanic . Esta relación también se mantiene en la teoría cuántica, véase esta pregunta en el sentido de que la carga cuántica de Noether $Q$ debe conmutar con el Hamiltoniano $H$ al menos en ausencia de anomalías y si no nos encontramos con "problemas de cuantización" al utilizar la cuantización canónica.

Ahora, si suponemos que la transformación de simetría clásica debe representarse mediante una transformación unitaria sobre el espacio de Hilbert (nota: estoy no suponiendo que se trate de una transformación de simetría cuántica), entonces podemos concluir directamente por Teorema de Stone que $Q$ es hermitiana y que la transformación asociada a la simetría clásica es efectivamente una simetría.

Podríamos preguntarnos si se puede abandonar esta suposición, creo que se no puede . La supresión del requisito de que las transformaciones estén representadas por operadores unitarios conduce a que no se conserve la normalización de los estados, en particular, significa que las probabilidades después de la transformación de encontrar un estado en otros estados que forman una base no no suman 1. Esto causa estragos en toda la estructura de la teoría cuántica; es un supuesto físico razonable que todas las transformaciones físicas se representen unitariamente en el espacio de Hilbert de los estados.

Answer 2

Los generadores de supersimetría no siempre son hermitianos. Si se impone SUSY, se calculan las corrientes de Noether correspondientes y, a continuación, se calcula la carga conservada, es decir, los generadores fermiónicos de Lorentz, se obtienen dos corrientes conservadas no hermitianas.

(Por cierto, la relación $Q^\dagger=\bar Q$ sólo es válida en signatura lorentziana, en signatura euclidiana, esta relación no es cierta).

De hecho, Olive y Witten hicieron un buen cálculo de esto. Hicieron exactamente lo que he esbozado para $\mathcal N=2$ SYM sin campos de materia y obtuvo la carga central de esta teoría. Véase la sección 2.8 de http://arxiv.org/abs/hep-th/9701069 para un cálculo detallado.

Además, no siempre se consigue un par $Q$ y $\bar Q$ . Por ejemplo, $\mathcal N=(n,m)$ Teorías 6D.

La moraleja de esta historia es la siguiente: Siempre supondrás $S=S^\dagger$ (una acción real.) Si tu generador de simetría es también hermitiano, la corriente conservada, y por tanto, la carga conservada, serán también hermitianas. Pero este podría no ser el caso.