$f\left ( x+m \right )\left ( f\left ( x \right )+\sqrt{m+1} \right )=-\left ( m+2 \right ),\forall x\in \mathbb{R},m\in \mathbb{Z^+}$

Question

Encontrar todos los función de $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sastisfied que $f$ continua en $\mathbb{R}$ $$f\left ( x+m \right )\left ( f\left ( x \right )+\sqrt{m+1} \right )=-\left ( m+2 \right ),\forall x\in \mathbb{R},m\in \mathbb{Z^+}$$ Traté de borrar $f(x+m)$ o $f(x)$ pero no puedo

Answer 1

Escoge un suficiente grande $m \in \mathbb{Z}^+$, de modo que $f(0)+\sqrt{m+1}>0$. A continuación,$f(m)=\frac{-(m+2)}{f(0)+\sqrt{m+1}}<0$.

Si $f(a)=0$ algunos $a \in \mathbb{R}$,$0=f(a)(f(a-1)+\sqrt{2})=-3$, una contradicción. Por lo tanto $f(x) \not =0 \, \forall x \in \mathbb{R}$.

Si $f(x)>0$ algunos $x \in \mathbb{R}$), luego por el teorema del valor intermedio, ya que $f(x)$ es continua, $f(a)=0$ algunos $a \in \mathbb{R}$, una contradicción. Por lo tanto $f(x)<0 \, \forall x \in \mathbb{R}$.

$(f(x)+\sqrt{2})=\frac{-3}{f(x+1)}>0$ $0>f(x)>-\sqrt{2}$ , lo $|f(x)|<\sqrt{2}$ $|f(x)+\sqrt{2}|<\sqrt{2}$ todos los $x \in \mathbb{R}$.

$3=|f(x+1)||f(x)+\sqrt{2}|<\sqrt{2}\sqrt{2}$, una contradicción. Por lo tanto no hay tal función existe.