Independencia algebraica en $ k[x,y]$

Question

Dejemos que $k$ sea un campo, entonces $x$ y $y$ son algebraicamente independientes en el anillo polinómico $k[x,y]$ por lo que supongo que 2 es el número máximo de elementos algebraicamente independientes en $k[x,y]$

Pero encuentro que si es verdad, entonces si $f(x), g(x)\in k[x,y]$ son polinomios en $x$ únicamente, entonces debe haber un polinomio no nulo $h(x,y)\in k[x,y]$ para que $h(f,g)=0$ porque de lo contrario $\{f,g,y\}$ sería un conjunto de tres elementos algebraicos independientes. Pero no veo cómo encontrar esto $h(x,y)$ para cualquier $f(x),g(x)$ .

Alguien puede decirme cómo encontrar $h$ ?

Answer 1

Preguntas sobre un tema venerable en matemáticas: la teoría de la eliminación y las resultantes.
El problema es: dada una curva paramétrica $t\mapsto (x=f(t), y=g(t))$ en el plano, encontrar una ecuación cartesiana $h(x,y)=0$ por su imagen.
En otras palabras, encontrar un polinomio que satisfaga $h(f(t),g(t))\equiv 0$ .
Por ejemplo, la curva paramétrica $x=t^2, y=t^3$ (conocida como cúspide o como parábola de Neil) tiene la ecuación cartesiana $h(x,y)=y^2-x^3=0$

El problema (y su generalización a más variables) ha sido rejuvenecido (y es un campo de investigación activo) por el estímulo de la matemática aplicada y la introducción de la técnica de las bases de Gröbner.
Una gran introducción es este libro elemental de Cox, Little y O'Shea, donde su problema se aborda en el capítulo 3, dedicado a la teoría de la eliminación, y más concretamente en el §3 ( dedicado a la implicitación) que resuelve su problema.

Ese libro es, por cierto, una excelente introducción a la geometría algebraica que hace hincapié en las aplicaciones y los cálculos.
Será atractivo para los principiantes que se sientan desanimados por la tendencia de la geometría algebraica moderna a escalar hacia abstracciones siempre más altas.